Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 14963 / 15714
↖ ↑ ↗
← N 79.511662°
W138.902893°		 ← 55.59 m → N 79.511662°
W138.900147°		 →
↑
55.62 m
↓
↑
55.62 m
↓
N 79.511161°
W138.902893°		 ← 55.59 m →
3 092 m²		 N 79.511161°
W138.900147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114162445068359 y=0.119892120361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114162445068359 × 217)
    floor (0.114162445068359 × 131072)
    floor (14963.5)     		tx = 14963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119892120361328 × 217)
    floor (0.119892120361328 × 131072)
    floor (15714.5)     		ty = 15714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14963 / 15714 ti = "17/14963/15714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14963/15714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14963 ÷ 217
    14963 ÷ 131072     		x = 0.114158630371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15714 ÷ 217
    15714 ÷ 131072     		y = 0.119888305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.114158630371094 × 2 - 1) × π
    -0.771682739257812 × 3.1415926535     		Λ = -2.42431282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119888305664062 × 2 - 1) × π
    0.760223388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38831221287044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42431282} λ = -2.42431282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38831221287044))-π/2
    2×atan(10.8950898239129)-π/2
    2×1.47926830858365-π/2
    2.95853661716731-1.57079632675     		φ = 1.38774029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42431282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.902893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38774029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.511662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14963 KachelY 15714 -2.42431282 1.38774029 -138.902893 79.511662
    Oben rechts KachelX + 1 14964 KachelY 15714 -2.42426489 1.38774029 -138.900147 79.511662
    Unten links KachelX 14963 KachelY + 1 15715 -2.42431282 1.38773156 -138.902893 79.511161
    Unten rechts KachelX + 1 14964 KachelY + 1 15715 -2.42426489 1.38773156 -138.900147 79.511161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38774029-1.38773156) × R
    8.73000000001234e-06 × 6371000     		dl = 55.6188300000786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38774029-1.38773156) × R
    8.73000000001234e-06 × 6371000     		dr = 55.6188300000786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42431282--2.42426489) × cos(1.38774029) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182035395261115 × 6371000     		do = 55.5866978288205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42431282--2.42426489) × cos(1.38773156) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18204397939315 × 6371000     		du = 55.5893190968045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38774029)-sin(1.38773156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182035395261115-0.18204397939315)×R²
    abs(-2.42426489--2.42431282)×8.58413203497221e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.58413203497221e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.58413203497221e-06×40589641000000     		ar = 3091.73999283778m²