Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14963 / 14758
↖ ↑ ↗
← S 80.781758°
E148.776856°		 ← 391.39 m → S 80.781758°
E148.798828°		 →
↑
391.31 m
↓
↑
391.31 m
↓
S 80.785278°
E148.776856°		 ← 391.24 m →
153 125 m²		 S 80.785278°
E148.798828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913299560546875 y=0.900787353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913299560546875 × 214)
    floor (0.913299560546875 × 16384)
    floor (14963.5)     		tx = 14963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900787353515625 × 214)
    floor (0.900787353515625 × 16384)
    floor (14758.5)     		ty = 14758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14963 / 14758 ti = "14/14963/14758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14963/14758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14963 ÷ 214
    14963 ÷ 16384     		x = 0.91326904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14758 ÷ 214
    14758 ÷ 16384     		y = 0.9007568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91326904296875 × 2 - 1) × π
    0.8265380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59664598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9007568359375 × 2 - 1) × π
    -0.801513671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.51802946324231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59664598} λ = 2.59664598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51802946324231))-π/2
    2×atan(0.0806183116777345)-π/2
    2×0.0804443350874304-π/2
    0.160888670174861-1.57079632675     		φ = -1.40990766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59664598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.776856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40990766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.781758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14963 KachelY 14758 2.59664598 -1.40990766 148.776856 -80.781758
    Oben rechts KachelX + 1 14964 KachelY 14758 2.59702947 -1.40990766 148.798828 -80.781758
    Unten links KachelX 14963 KachelY + 1 14759 2.59664598 -1.40996908 148.776856 -80.785278
    Unten rechts KachelX + 1 14964 KachelY + 1 14759 2.59702947 -1.40996908 148.798828 -80.785278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40990766--1.40996908) × R
    6.14199999999787e-05 × 6371000     		dl = 391.306819999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40990766--1.40996908) × R
    6.14199999999787e-05 × 6371000     		dr = 391.306819999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59664598-2.59702947) × cos(-1.40990766) × R
    0.000383489999999931 × 0.160195459695451 × 6371000     		do = 391.391916418703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59664598-2.59702947) × cos(-1.40996908) × R
    0.000383489999999931 × 0.160134832613416 × 6371000     		du = 391.243791435202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40990766)-sin(-1.40996908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160195459695451-0.160134832613416)×R²
    abs(2.59702947-2.59664598)×6.06270820344146e-05×R²
    0.000383489999999931×6.06270820344146e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.06270820344146e-05×40589641000000     		ar = 153125.345078681m²