Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14962 / 15718
↖ ↑ ↗
← N 79.509661°
W138.905640°		 ← 55.61 m → N 79.509661°
W138.902893°		 →
↑
55.62 m
↓
↑
55.62 m
↓
N 79.509161°
W138.905640°		 ← 55.61 m →
3 093 m²		 N 79.509161°
W138.902893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114154815673828 y=0.119922637939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114154815673828 × 217)
    floor (0.114154815673828 × 131072)
    floor (14962.5)     		tx = 14962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119922637939453 × 217)
    floor (0.119922637939453 × 131072)
    floor (15718.5)     		ty = 15718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14962 / 15718 ti = "17/14962/15718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14962/15718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14962 ÷ 217
    14962 ÷ 131072     		x = 0.114151000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15718 ÷ 217
    15718 ÷ 131072     		y = 0.119918823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.114151000976562 × 2 - 1) × π
    -0.771697998046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.42436076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119918823242188 × 2 - 1) × π
    0.760162353515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38812046527196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42436076} λ = -2.42436076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38812046527196))-π/2
    2×atan(10.8930009168818)-π/2
    2×1.47925085451337-π/2
    2.95850170902675-1.57079632675     		φ = 1.38770538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42436076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.905640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38770538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.509661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14962 KachelY 15718 -2.42436076 1.38770538 -138.905640 79.509661
    Oben rechts KachelX + 1 14963 KachelY 15718 -2.42431282 1.38770538 -138.902893 79.509661
    Unten links KachelX 14962 KachelY + 1 15719 -2.42436076 1.38769665 -138.905640 79.509161
    Unten rechts KachelX + 1 14963 KachelY + 1 15719 -2.42431282 1.38769665 -138.902893 79.509161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38770538-1.38769665) × R
    8.73000000001234e-06 × 6371000     		dl = 55.6188300000786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38770538-1.38769665) × R
    8.73000000001234e-06 × 6371000     		dr = 55.6188300000786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42436076--2.42431282) × cos(1.38770538) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182069721873152 × 6371000     		do = 55.608779534665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42436076--2.42431282) × cos(1.38769665) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182078305949702 × 6371000     		du = 55.6114013325977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38770538)-sin(1.38769665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182069721873152-0.182078305949702)×R²
    abs(-2.42431282--2.42436076)×8.58407655057736e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.58407655057736e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.58407655057736e-06×40589641000000     		ar = 3092.96816618936m²