Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14962 / 14814
↖ ↑ ↗
← S 80.976799°
E148.754883°		 ← 383.19 m → S 80.976799°
E148.776856°		 →
↑
383.09 m
↓
↑
383.09 m
↓
S 80.980244°
E148.754883°		 ← 383.05 m →
146 768 m²		 S 80.980244°
E148.776856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913238525390625 y=0.904205322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913238525390625 × 214)
    floor (0.913238525390625 × 16384)
    floor (14962.5)     		tx = 14962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904205322265625 × 214)
    floor (0.904205322265625 × 16384)
    floor (14814.5)     		ty = 14814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14962 / 14814 ti = "14/14962/14814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14962/14814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14962 ÷ 214
    14962 ÷ 16384     		x = 0.9132080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14814 ÷ 214
    14814 ÷ 16384     		y = 0.9041748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9132080078125 × 2 - 1) × π
    0.826416015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59626248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9041748046875 × 2 - 1) × π
    -0.808349609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53950519427209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59626248} λ = 2.59626248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53950519427209))-π/2
    2×atan(0.0789054329931603)-π/2
    2×0.0787422851756005-π/2
    0.157484570351201-1.57079632675     		φ = -1.41331176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59626248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.754883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41331176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.976799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14962 KachelY 14814 2.59626248 -1.41331176 148.754883 -80.976799
    Oben rechts KachelX + 1 14963 KachelY 14814 2.59664598 -1.41331176 148.776856 -80.976799
    Unten links KachelX 14962 KachelY + 1 14815 2.59626248 -1.41337189 148.754883 -80.980244
    Unten rechts KachelX + 1 14963 KachelY + 1 14815 2.59664598 -1.41337189 148.776856 -80.980244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41331176--1.41337189) × R
    6.01300000000471e-05 × 6371000     		dl = 383.0882300003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41331176--1.41337189) × R
    6.01300000000471e-05 × 6371000     		dr = 383.0882300003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59626248-2.59664598) × cos(-1.41331176) × R
    0.00038349999999987 × 0.15683440090839 × 6371000     		do = 383.19011979972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59626248-2.59664598) × cos(-1.41337189) × R
    0.00038349999999987 × 0.156775014738822 × 6371000     		du = 383.045022848417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41331176)-sin(-1.41337189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15683440090839-0.156775014738822)×R²
    abs(2.59664598-2.59626248)×5.93861695677433e-05×R²
    0.00038349999999987×5.93861695677433e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.93861695677433e-05×40589641000000     		ar = 146767.832325217m²