Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14961 / 14817
↖ ↑ ↗
← S 80.987131°
E148.732910°		 ← 382.74 m → S 80.987131°
E148.754883°		 →
↑
382.71 m
↓
↑
382.71 m
↓
S 80.990573°
E148.732910°		 ← 382.60 m →
146 451 m²		 S 80.990573°
E148.754883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913177490234375 y=0.904388427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913177490234375 × 214)
    floor (0.913177490234375 × 16384)
    floor (14961.5)     		tx = 14961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904388427734375 × 214)
    floor (0.904388427734375 × 16384)
    floor (14817.5)     		ty = 14817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14961 / 14817 ti = "14/14961/14817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14961/14817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14961 ÷ 214
    14961 ÷ 16384     		x = 0.91314697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14817 ÷ 214
    14817 ÷ 16384     		y = 0.90435791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91314697265625 × 2 - 1) × π
    0.8262939453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59587899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90435791015625 × 2 - 1) × π
    -0.8087158203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.54065567986298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59587899} λ = 2.59587899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54065567986298))-π/2
    2×atan(0.078814705629729)-π/2
    2×0.0786521185504045-π/2
    0.157304237100809-1.57079632675     		φ = -1.41349209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59587899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.732910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41349209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.987131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14961 KachelY 14817 2.59587899 -1.41349209 148.732910 -80.987131
    Oben rechts KachelX + 1 14962 KachelY 14817 2.59626248 -1.41349209 148.754883 -80.987131
    Unten links KachelX 14961 KachelY + 1 14818 2.59587899 -1.41355216 148.732910 -80.990573
    Unten rechts KachelX + 1 14962 KachelY + 1 14818 2.59626248 -1.41355216 148.754883 -80.990573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41349209--1.41355216) × R
    6.00699999999676e-05 × 6371000     		dl = 382.705969999794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41349209--1.41355216) × R
    6.00699999999676e-05 × 6371000     		dr = 382.705969999794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59587899-2.59626248) × cos(-1.41349209) × R
    0.000383489999999931 × 0.156656299958577 × 6371000     		do = 382.744989005404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59587899-2.59626248) × cos(-1.41355216) × R
    0.000383489999999931 × 0.156596971349459 × 6371000     		du = 382.600036470136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41349209)-sin(-1.41355216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156656299958577-0.156596971349459)×R²
    abs(2.59626248-2.59587899)×5.93286091180312e-05×R²
    0.000383489999999931×5.93286091180312e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.93286091180312e-05×40589641000000     		ar = 146451.055222429m²