Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14961 / 10385
↖ ↑ ↗
← N 54.870285°
W 15.633545°		 ← 702.93 m → N 54.870285°
W 15.622559°		 →
↑
703.04 m
↓
↑
703.04 m
↓
N 54.863963°
W 15.633545°		 ← 703.04 m →
494 227 m²		 N 54.863963°
W 15.622559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456588745117188 y=0.316940307617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456588745117188 × 215)
    floor (0.456588745117188 × 32768)
    floor (14961.5)     		tx = 14961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316940307617188 × 215)
    floor (0.316940307617188 × 32768)
    floor (10385.5)     		ty = 10385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14961 / 10385 ti = "15/14961/10385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14961/10385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14961 ÷ 215
    14961 ÷ 32768     		x = 0.456573486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10385 ÷ 215
    10385 ÷ 32768     		y = 0.316925048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456573486328125 × 2 - 1) × π
    -0.08685302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27285683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316925048828125 × 2 - 1) × π
    0.36614990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.15029384328287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27285683} λ = -0.27285683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15029384328287))-π/2
    2×atan(3.15912105982094)-π/2
    2×1.26423173332095-π/2
    2.5284634666419-1.57079632675     		φ = 0.95766714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27285683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.633545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95766714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.870285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14961 KachelY 10385 -0.27285683 0.95766714 -15.633545 54.870285
    Oben rechts KachelX + 1 14962 KachelY 10385 -0.27266509 0.95766714 -15.622559 54.870285
    Unten links KachelX 14961 KachelY + 1 10386 -0.27285683 0.95755679 -15.633545 54.863963
    Unten rechts KachelX + 1 14962 KachelY + 1 10386 -0.27266509 0.95755679 -15.622559 54.863963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95766714-0.95755679) × R
    0.000110349999999926 × 6371000     		dl = 703.039849999527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95766714-0.95755679) × R
    0.000110349999999926 × 6371000     		dr = 703.039849999527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27285683--0.27266509) × cos(0.95766714) × R
    0.000191739999999996 × 0.575429482966291 × 6371000     		do = 702.930581386453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27285683--0.27266509) × cos(0.95755679) × R
    0.000191739999999996 × 0.575519729364402 × 6371000     		du = 703.040824178958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95766714)-sin(0.95755679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575429482966291-0.575519729364402)×R²
    abs(-0.27266509--0.27285683)×9.02463981107271e-05×R²
    0.000191739999999996×9.02463981107271e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.02463981107271e-05×40589641000000     		ar = 494226.963537164m²