Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14960 / 9874
↖ ↑ ↗
← N 57.973158°
W 15.644531°		 ← 647.86 m → N 57.973158°
W 15.633545°		 →
↑
647.93 m
↓
↑
647.93 m
↓
N 57.967331°
W 15.644531°		 ← 647.96 m →
419 800 m²		 N 57.967331°
W 15.633545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456558227539062 y=0.301345825195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456558227539062 × 215)
    floor (0.456558227539062 × 32768)
    floor (14960.5)     		tx = 14960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301345825195312 × 215)
    floor (0.301345825195312 × 32768)
    floor (9874.5)     		ty = 9874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14960 / 9874 ti = "15/14960/9874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14960/9874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14960 ÷ 215
    14960 ÷ 32768     		x = 0.45654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9874 ÷ 215
    9874 ÷ 32768     		y = 0.30133056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45654296875 × 2 - 1) × π
    -0.0869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27304858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30133056640625 × 2 - 1) × π
    0.3973388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.24827686610626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27304858} λ = -0.27304858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24827686610626))-π/2
    2×atan(3.4843338079825)-π/2
    2×1.29130940103675-π/2
    2.5826188020735-1.57079632675     		φ = 1.01182248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27304858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.644531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01182248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.973158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14960 KachelY 9874 -0.27304858 1.01182248 -15.644531 57.973158
    Oben rechts KachelX + 1 14961 KachelY 9874 -0.27285683 1.01182248 -15.633545 57.973158
    Unten links KachelX 14960 KachelY + 1 9875 -0.27304858 1.01172078 -15.644531 57.967331
    Unten rechts KachelX + 1 14961 KachelY + 1 9875 -0.27285683 1.01172078 -15.633545 57.967331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01182248-1.01172078) × R
    0.000101699999999871 × 6371000     		dl = 647.93069999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01182248-1.01172078) × R
    0.000101699999999871 × 6371000     		dr = 647.93069999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27304858--0.27285683) × cos(1.01182248) × R
    0.000191749999999991 × 0.530316504858798 × 6371000     		do = 647.855457258292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27304858--0.27285683) × cos(1.01172078) × R
    0.000191749999999991 × 0.530402723350037 × 6371000     		du = 647.960785151264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01182248)-sin(1.01172078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530316504858798-0.530402723350037)×R²
    abs(-0.27285683--0.27304858)×8.62184912382435e-05×R²
    0.000191749999999991×8.62184912382435e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.62184912382435e-05×40589641000000     		ar = 419799.562869828m²