Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14960 / 7586
↖ ↑ ↗
← N 69.029279°
W 15.644531°		 ← 437.21 m → N 69.029279°
W 15.633545°		 →
↑
437.24 m
↓
↑
437.24 m
↓
N 69.025347°
W 15.644531°		 ← 437.29 m →
191 185 m²		 N 69.025347°
W 15.633545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456558227539062 y=0.231521606445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456558227539062 × 215)
    floor (0.456558227539062 × 32768)
    floor (14960.5)     		tx = 14960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231521606445312 × 215)
    floor (0.231521606445312 × 32768)
    floor (7586.5)     		ty = 7586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14960 / 7586 ti = "15/14960/7586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14960/7586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14960 ÷ 215
    14960 ÷ 32768     		x = 0.45654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7586 ÷ 215
    7586 ÷ 32768     		y = 0.23150634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45654296875 × 2 - 1) × π
    -0.0869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27304858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23150634765625 × 2 - 1) × π
    0.5369873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.68699537142902
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27304858} λ = -0.27304858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68699537142902))-π/2
    2×atan(5.40322161705693)-π/2
    2×1.38779226549527-π/2
    2.77558453099054-1.57079632675     		φ = 1.20478820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27304858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.644531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20478820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.029279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14960 KachelY 7586 -0.27304858 1.20478820 -15.644531 69.029279
    Oben rechts KachelX + 1 14961 KachelY 7586 -0.27285683 1.20478820 -15.633545 69.029279
    Unten links KachelX 14960 KachelY + 1 7587 -0.27304858 1.20471957 -15.644531 69.025347
    Unten rechts KachelX + 1 14961 KachelY + 1 7587 -0.27285683 1.20471957 -15.633545 69.025347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20478820-1.20471957) × R
    6.8630000000125e-05 × 6371000     		dl = 437.241730000796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20478820-1.20471957) × R
    6.8630000000125e-05 × 6371000     		dr = 437.241730000796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27304858--0.27285683) × cos(1.20478820) × R
    0.000191749999999991 × 0.357890828123504 × 6371000     		do = 437.213482850655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27304858--0.27285683) × cos(1.20471957) × R
    0.000191749999999991 × 0.357954911465247 × 6371000     		du = 437.291769576199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20478820)-sin(1.20471957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357890828123504-0.357954911465247)×R²
    abs(-0.27285683--0.27304858)×6.40833417427933e-05×R²
    0.000191749999999991×6.40833417427933e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.40833417427933e-05×40589641000000     		ar = 191185.094808336m²