Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14959 / 8907
↖ ↑ ↗
← N 63.179151°
W 15.655518°		 ← 551.21 m → N 63.179151°
W 15.644531°		 →
↑
551.28 m
↓
↑
551.28 m
↓
N 63.174194°
W 15.655518°		 ← 551.30 m →
303 897 m²		 N 63.174194°
W 15.644531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456527709960938 y=0.271835327148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456527709960938 × 215)
    floor (0.456527709960938 × 32768)
    floor (14959.5)     		tx = 14959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271835327148438 × 215)
    floor (0.271835327148438 × 32768)
    floor (8907.5)     		ty = 8907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14959 / 8907 ti = "15/14959/8907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14959/8907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14959 ÷ 215
    14959 ÷ 32768     		x = 0.456512451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8907 ÷ 215
    8907 ÷ 32768     		y = 0.271820068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456512451171875 × 2 - 1) × π
    -0.08697509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27324033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271820068359375 × 2 - 1) × π
    0.45635986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43369679383664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27324033} λ = -0.27324033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43369679383664))-π/2
    2×atan(4.19417557020566)-π/2
    2×1.3367402659118-π/2
    2.67348053182361-1.57079632675     		φ = 1.10268421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27324033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.655518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10268421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.179151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14959 KachelY 8907 -0.27324033 1.10268421 -15.655518 63.179151
    Oben rechts KachelX + 1 14960 KachelY 8907 -0.27304858 1.10268421 -15.644531 63.179151
    Unten links KachelX 14959 KachelY + 1 8908 -0.27324033 1.10259768 -15.655518 63.174194
    Unten rechts KachelX + 1 14960 KachelY + 1 8908 -0.27304858 1.10259768 -15.644531 63.174194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10268421-1.10259768) × R
    8.65300000001401e-05 × 6371000     		dl = 551.282630000893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10268421-1.10259768) × R
    8.65300000001401e-05 × 6371000     		dr = 551.282630000893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27324033--0.27304858) × cos(1.10268421) × R
    0.000191749999999991 × 0.451202302514974 × 6371000     		do = 551.206442442638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27324033--0.27304858) × cos(1.10259768) × R
    0.000191749999999991 × 0.451279522074995 × 6371000     		du = 551.300776888028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10268421)-sin(1.10259768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451202302514974-0.451279522074995)×R²
    abs(-0.27304858--0.27324033)×7.72195600209913e-05×R²
    0.000191749999999991×7.72195600209913e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.72195600209913e-05×40589641000000     		ar = 303896.539923495m²