Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14959 / 14957
↖ ↑ ↗
← S 81.456474°
E148.688965°		 ← 362.97 m → S 81.456474°
E148.710937°		 →
↑
362.89 m
↓
↑
362.89 m
↓
S 81.459737°
E148.688965°		 ← 362.83 m →
131 692 m²		 S 81.459737°
E148.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913055419921875 y=0.912933349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913055419921875 × 214)
    floor (0.913055419921875 × 16384)
    floor (14959.5)     		tx = 14959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912933349609375 × 214)
    floor (0.912933349609375 × 16384)
    floor (14957.5)     		ty = 14957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14959 / 14957 ti = "14/14959/14957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14959/14957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14959 ÷ 214
    14959 ÷ 16384     		x = 0.91302490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14957 ÷ 214
    14957 ÷ 16384     		y = 0.91290283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91302490234375 × 2 - 1) × π
    0.8260498046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59511200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91290283203125 × 2 - 1) × π
    -0.8258056640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.59434500743744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59511200} λ = 2.59511200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59434500743744))-π/2
    2×atan(0.0746947845836966)-π/2
    2×0.0745563326283631-π/2
    0.149112665256726-1.57079632675     		φ = -1.42168366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59511200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.688965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42168366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.456474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14959 KachelY 14957 2.59511200 -1.42168366 148.688965 -81.456474
    Oben rechts KachelX + 1 14960 KachelY 14957 2.59549549 -1.42168366 148.710937 -81.456474
    Unten links KachelX 14959 KachelY + 1 14958 2.59511200 -1.42174062 148.688965 -81.459737
    Unten rechts KachelX + 1 14960 KachelY + 1 14958 2.59549549 -1.42174062 148.710937 -81.459737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42168366--1.42174062) × R
    5.69599999999948e-05 × 6371000     		dl = 362.892159999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42168366--1.42174062) × R
    5.69599999999948e-05 × 6371000     		dr = 362.892159999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59511200-2.59549549) × cos(-1.42168366) × R
    0.000383489999999931 × 0.148560704348219 × 6371000     		do = 362.96571007632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59511200-2.59549549) × cos(-1.42174062) × R
    0.000383489999999931 × 0.148504376175848 × 6371000     		du = 362.82808825249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42168366)-sin(-1.42174062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148560704348219-0.148504376175848)×R²
    abs(2.59549549-2.59511200)×5.63281723705289e-05×R²
    0.000383489999999931×5.63281723705289e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.63281723705289e-05×40589641000000     		ar = 131692.439631569m²