Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14958 / 8926
↖ ↑ ↗
← N 63.084814°
W 15.666504°		 ← 553 m → N 63.084814°
W 15.655518°		 →
↑
553.07 m
↓
↑
553.07 m
↓
N 63.079840°
W 15.666504°		 ← 553.10 m →
305 872 m²		 N 63.079840°
W 15.655518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456497192382812 y=0.272415161132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456497192382812 × 215)
    floor (0.456497192382812 × 32768)
    floor (14958.5)     		tx = 14958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272415161132812 × 215)
    floor (0.272415161132812 × 32768)
    floor (8926.5)     		ty = 8926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14958 / 8926 ti = "15/14958/8926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14958/8926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14958 ÷ 215
    14958 ÷ 32768     		x = 0.45648193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8926 ÷ 215
    8926 ÷ 32768     		y = 0.27239990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45648193359375 × 2 - 1) × π
    -0.0870361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27343208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27239990234375 × 2 - 1) × π
    0.4552001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43005358946552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27343208} λ = -0.27343208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43005358946552))-π/2
    2×atan(4.17892313217986)-π/2
    2×1.33591701759641-π/2
    2.67183403519283-1.57079632675     		φ = 1.10103771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27343208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.666504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10103771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.084814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14958 KachelY 8926 -0.27343208 1.10103771 -15.666504 63.084814
    Oben rechts KachelX + 1 14959 KachelY 8926 -0.27324033 1.10103771 -15.655518 63.084814
    Unten links KachelX 14958 KachelY + 1 8927 -0.27343208 1.10095090 -15.666504 63.079840
    Unten rechts KachelX + 1 14959 KachelY + 1 8927 -0.27324033 1.10095090 -15.655518 63.079840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10103771-1.10095090) × R
    8.68099999999927e-05 × 6371000     		dl = 553.066509999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10103771-1.10095090) × R
    8.68099999999927e-05 × 6371000     		dr = 553.066509999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27343208--0.27324033) × cos(1.10103771) × R
    0.000191750000000046 × 0.452671062576283 × 6371000     		do = 553.000737382526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27343208--0.27324033) × cos(1.10095090) × R
    0.000191750000000046 × 0.452748467401364 × 6371000     		du = 553.095298154985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10103771)-sin(1.10095090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452671062576283-0.452748467401364)×R²
    abs(-0.27324033--0.27343208)×7.74048250817838e-05×R²
    0.000191750000000046×7.74048250817838e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.74048250817838e-05×40589641000000     		ar = 305872.337242073m²