Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14958 / 7580
↖ ↑ ↗
← N 69.052858°
W 15.666504°		 ← 436.74 m → N 69.052858°
W 15.655518°		 →
↑
436.80 m
↓
↑
436.80 m
↓
N 69.048930°
W 15.666504°		 ← 436.82 m →
190 785 m²		 N 69.048930°
W 15.655518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456497192382812 y=0.231338500976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456497192382812 × 215)
    floor (0.456497192382812 × 32768)
    floor (14958.5)     		tx = 14958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231338500976562 × 215)
    floor (0.231338500976562 × 32768)
    floor (7580.5)     		ty = 7580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14958 / 7580 ti = "15/14958/7580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14958/7580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14958 ÷ 215
    14958 ÷ 32768     		x = 0.45648193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7580 ÷ 215
    7580 ÷ 32768     		y = 0.2313232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45648193359375 × 2 - 1) × π
    -0.0870361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27343208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2313232421875 × 2 - 1) × π
    0.537353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.6881458570199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27343208} λ = -0.27343208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6881458570199))-π/2
    2×atan(5.40944152294167)-π/2
    2×1.38799802906386-π/2
    2.77599605812772-1.57079632675     		φ = 1.20519973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27343208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.666504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20519973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.052858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14958 KachelY 7580 -0.27343208 1.20519973 -15.666504 69.052858
    Oben rechts KachelX + 1 14959 KachelY 7580 -0.27324033 1.20519973 -15.655518 69.052858
    Unten links KachelX 14958 KachelY + 1 7581 -0.27343208 1.20513117 -15.666504 69.048930
    Unten rechts KachelX + 1 14959 KachelY + 1 7581 -0.27324033 1.20513117 -15.655518 69.048930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20519973-1.20513117) × R
    6.85599999998843e-05 × 6371000     		dl = 436.795759999263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20519973-1.20513117) × R
    6.85599999998843e-05 × 6371000     		dr = 436.795759999263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27343208--0.27324033) × cos(1.20519973) × R
    0.000191750000000046 × 0.357506526161724 × 6371000     		do = 436.744004490419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27343208--0.27324033) × cos(1.20513117) × R
    0.000191750000000046 × 0.357570554234937 × 6371000     		du = 436.822223697757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20519973)-sin(1.20513117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357506526161724-0.357570554234937)×R²
    abs(-0.27324033--0.27343208)×6.40280732121523e-05×R²
    0.000191750000000046×6.40280732121523e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.40280732121523e-05×40589641000000     		ar = 190785.012350866m²