Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14958 / 14769
↖ ↑ ↗
← S 80.820397°
E148.666992°		 ← 389.78 m → S 80.820397°
E148.688965°		 →
↑
389.65 m
↓
↑
389.65 m
↓
S 80.823901°
E148.666992°		 ← 389.63 m →
151 847 m²		 S 80.823901°
E148.688965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912994384765625 y=0.901458740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912994384765625 × 214)
    floor (0.912994384765625 × 16384)
    floor (14958.5)     		tx = 14958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901458740234375 × 214)
    floor (0.901458740234375 × 16384)
    floor (14769.5)     		ty = 14769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14958 / 14769 ti = "14/14958/14769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14958/14769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14958 ÷ 214
    14958 ÷ 16384     		x = 0.9129638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14769 ÷ 214
    14769 ÷ 16384     		y = 0.90142822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9129638671875 × 2 - 1) × π
    0.825927734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59472850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90142822265625 × 2 - 1) × π
    -0.8028564453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.52224791040887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59472850} λ = 2.59472850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52224791040887))-π/2
    2×atan(0.0802789438950574)-π/2
    2×0.0801071495664318-π/2
    0.160214299132864-1.57079632675     		φ = -1.41058203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59472850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.666992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41058203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.820397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14958 KachelY 14769 2.59472850 -1.41058203 148.666992 -80.820397
    Oben rechts KachelX + 1 14959 KachelY 14769 2.59511200 -1.41058203 148.688965 -80.820397
    Unten links KachelX 14958 KachelY + 1 14770 2.59472850 -1.41064319 148.666992 -80.823901
    Unten rechts KachelX + 1 14959 KachelY + 1 14770 2.59511200 -1.41064319 148.688965 -80.823901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41058203--1.41064319) × R
    6.11600000000045e-05 × 6371000     		dl = 389.650360000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41058203--1.41064319) × R
    6.11600000000045e-05 × 6371000     		dr = 389.650360000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59472850-2.59511200) × cos(-1.41058203) × R
    0.00038349999999987 × 0.159529762597094 × 6371000     		do = 389.775639063453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59472850-2.59511200) × cos(-1.41064319) × R
    0.00038349999999987 × 0.15946938556759 × 6371000     		du = 389.62812116537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41058203)-sin(-1.41064319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159529762597094-0.15946938556759)×R²
    abs(2.59511200-2.59472850)×6.0377029504538e-05×R²
    0.00038349999999987×6.0377029504538e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.0377029504538e-05×40589641000000     		ar = 151847.477925342m²