Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14956 / 7583
↖ ↑ ↗
← N 69.041072°
W 15.688477°		 ← 436.98 m → N 69.041072°
W 15.677490°		 →
↑
436.99 m
↓
↑
436.99 m
↓
N 69.037142°
W 15.688477°		 ← 437.06 m →
190 971 m²		 N 69.037142°
W 15.677490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456436157226562 y=0.231430053710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456436157226562 × 215)
    floor (0.456436157226562 × 32768)
    floor (14956.5)     		tx = 14956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231430053710938 × 215)
    floor (0.231430053710938 × 32768)
    floor (7583.5)     		ty = 7583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14956 / 7583 ti = "15/14956/7583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14956/7583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14956 ÷ 215
    14956 ÷ 32768     		x = 0.4564208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7583 ÷ 215
    7583 ÷ 32768     		y = 0.231414794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4564208984375 × 2 - 1) × π
    -0.087158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27381557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231414794921875 × 2 - 1) × π
    0.53717041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68757061422446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27381557} λ = -0.27381557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68757061422446))-π/2
    2×atan(5.40633067551031)-π/2
    2×1.38789517491274-π/2
    2.77579034982548-1.57079632675     		φ = 1.20499402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27381557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.688477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20499402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.041072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14956 KachelY 7583 -0.27381557 1.20499402 -15.688477 69.041072
    Oben rechts KachelX + 1 14957 KachelY 7583 -0.27362382 1.20499402 -15.677490 69.041072
    Unten links KachelX 14956 KachelY + 1 7584 -0.27381557 1.20492543 -15.688477 69.037142
    Unten rechts KachelX + 1 14957 KachelY + 1 7584 -0.27362382 1.20492543 -15.677490 69.037142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20499402-1.20492543) × R
    6.8589999999924e-05 × 6371000     		dl = 436.986889999516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20499402-1.20492543) × R
    6.8589999999924e-05 × 6371000     		dr = 436.986889999516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27381557--0.27362382) × cos(1.20499402) × R
    0.000191749999999991 × 0.35769863335392 × 6371000     		do = 436.978690176486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27381557--0.27362382) × cos(1.20492543) × R
    0.000191749999999991 × 0.357762684397617 × 6371000     		du = 437.05693744547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20499402)-sin(1.20492543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35769863335392-0.357762684397617)×R²
    abs(-0.27362382--0.27381557)×6.40510436971109e-05×R²
    0.000191749999999991×6.40510436971109e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.40510436971109e-05×40589641000000     		ar = 190971.055407212m²