Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14956 / 7579
↖ ↑ ↗
← N 69.056786°
W 15.688477°		 ← 436.67 m → N 69.056786°
W 15.677490°		 →
↑
436.73 m
↓
↑
436.73 m
↓
N 69.052858°
W 15.688477°		 ← 436.74 m →
190 723 m²		 N 69.052858°
W 15.677490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456436157226562 y=0.231307983398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456436157226562 × 215)
    floor (0.456436157226562 × 32768)
    floor (14956.5)     		tx = 14956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231307983398438 × 215)
    floor (0.231307983398438 × 32768)
    floor (7579.5)     		ty = 7579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14956 / 7579 ti = "15/14956/7579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14956/7579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14956 ÷ 215
    14956 ÷ 32768     		x = 0.4564208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7579 ÷ 215
    7579 ÷ 32768     		y = 0.231292724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4564208984375 × 2 - 1) × π
    -0.087158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27381557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231292724609375 × 2 - 1) × π
    0.53741455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.68833760461838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27381557} λ = -0.27381557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68833760461838))-π/2
    2×atan(5.41047886981403)-π/2
    2×1.38803230150387-π/2
    2.77606460300774-1.57079632675     		φ = 1.20526828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27381557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.688477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20526828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.056786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14956 KachelY 7579 -0.27381557 1.20526828 -15.688477 69.056786
    Oben rechts KachelX + 1 14957 KachelY 7579 -0.27362382 1.20526828 -15.677490 69.056786
    Unten links KachelX 14956 KachelY + 1 7580 -0.27381557 1.20519973 -15.688477 69.052858
    Unten rechts KachelX + 1 14957 KachelY + 1 7580 -0.27362382 1.20519973 -15.677490 69.052858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20526828-1.20519973) × R
    6.85500000001671e-05 × 6371000     		dl = 436.732050001065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20526828-1.20519973) × R
    6.85500000001671e-05 × 6371000     		dr = 436.732050001065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27381557--0.27362382) × cos(1.20526828) × R
    0.000191749999999991 × 0.357442505747413 × 6371000     		do = 436.665794639369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27381557--0.27362382) × cos(1.20519973) × R
    0.000191749999999991 × 0.357506526161724 × 6371000     		du = 436.744004490293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20526828)-sin(1.20519973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357442505747413-0.357506526161724)×R²
    abs(-0.27362382--0.27381557)×6.40204143109724e-05×R²
    0.000191749999999991×6.40204143109724e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.40204143109724e-05×40589641000000     		ar = 190723.026107355m²