Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14955 / 8912
↖ ↑ ↗
← N 63.154355°
W 15.699463°		 ← 551.68 m → N 63.154355°
W 15.688477°		 →
↑
551.73 m
↓
↑
551.73 m
↓
N 63.149394°
W 15.699463°		 ← 551.77 m →
304 403 m²		 N 63.149394°
W 15.688477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456405639648438 y=0.271987915039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456405639648438 × 215)
    floor (0.456405639648438 × 32768)
    floor (14955.5)     		tx = 14955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271987915039062 × 215)
    floor (0.271987915039062 × 32768)
    floor (8912.5)     		ty = 8912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14955 / 8912 ti = "15/14955/8912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14955/8912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14955 ÷ 215
    14955 ÷ 32768     		x = 0.456390380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8912 ÷ 215
    8912 ÷ 32768     		y = 0.27197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456390380859375 × 2 - 1) × π
    -0.08721923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27400732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27197265625 × 2 - 1) × π
    0.4560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43273805584424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27400732} λ = -0.27400732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43273805584424))-π/2
    2×atan(4.19015638172192)-π/2
    2×1.33652388096546-π/2
    2.67304776193092-1.57079632675     		φ = 1.10225144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27400732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.699463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10225144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.154355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14955 KachelY 8912 -0.27400732 1.10225144 -15.699463 63.154355
    Oben rechts KachelX + 1 14956 KachelY 8912 -0.27381557 1.10225144 -15.688477 63.154355
    Unten links KachelX 14955 KachelY + 1 8913 -0.27400732 1.10216484 -15.699463 63.149394
    Unten rechts KachelX + 1 14956 KachelY + 1 8913 -0.27381557 1.10216484 -15.688477 63.149394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10225144-1.10216484) × R
    8.66000000001588e-05 × 6371000     		dl = 551.728600001012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10225144-1.10216484) × R
    8.66000000001588e-05 × 6371000     		dr = 551.728600001012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27400732--0.27381557) × cos(1.10225144) × R
    0.000191749999999991 × 0.451588473587174 × 6371000     		do = 551.678204181652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27400732--0.27381557) × cos(1.10216484) × R
    0.000191749999999991 × 0.451665738695188 × 6371000     		du = 551.772594270258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10225144)-sin(1.10216484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451588473587174-0.451665738695188)×R²
    abs(-0.27381557--0.27400732)×7.72651080139797e-05×R²
    0.000191749999999991×7.72651080139797e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.72651080139797e-05×40589641000000     		ar = 304402.682290427m²