Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14955 / 21303
↖ ↑ ↗
← S 47.450380°
W 15.699463°		 ← 826.11 m → S 47.450380°
W 15.688477°		 →
↑
826 m
↓
↑
826 m
↓
S 47.457808°
W 15.699463°		 ← 825.99 m →
682 317 m²		 S 47.457808°
W 15.688477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456405639648438 y=0.650131225585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456405639648438 × 215)
    floor (0.456405639648438 × 32768)
    floor (14955.5)     		tx = 14955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650131225585938 × 215)
    floor (0.650131225585938 × 32768)
    floor (21303.5)     		ty = 21303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14955 / 21303 ti = "15/14955/21303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14955/21303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14955 ÷ 215
    14955 ÷ 32768     		x = 0.456390380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21303 ÷ 215
    21303 ÷ 32768     		y = 0.650115966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456390380859375 × 2 - 1) × π
    -0.08721923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27400732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650115966796875 × 2 - 1) × π
    -0.30023193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.943206436924225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27400732} λ = -0.27400732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.943206436924225))-π/2
    2×atan(0.389377317767892)-π/2
    2×0.371315484098084-π/2
    0.742630968196168-1.57079632675     		φ = -0.82816536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27400732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.699463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82816536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.450380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14955 KachelY 21303 -0.27400732 -0.82816536 -15.699463 -47.450380
    Oben rechts KachelX + 1 14956 KachelY 21303 -0.27381557 -0.82816536 -15.688477 -47.450380
    Unten links KachelX 14955 KachelY + 1 21304 -0.27400732 -0.82829501 -15.699463 -47.457808
    Unten rechts KachelX + 1 14956 KachelY + 1 21304 -0.27381557 -0.82829501 -15.688477 -47.457808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82816536--0.82829501) × R
    0.000129650000000092 × 6371000     		dl = 826.000150000587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82816536--0.82829501) × R
    0.000129650000000092 × 6371000     		dr = 826.000150000587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27400732--0.27381557) × cos(-0.82816536) × R
    0.000191749999999991 × 0.676228461939311 × 6371000     		do = 826.107231072153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27400732--0.27381557) × cos(-0.82829501) × R
    0.000191749999999991 × 0.676132944141508 × 6371000     		du = 825.990542781282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82816536)-sin(-0.82829501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676228461939311-0.676132944141508)×R²
    abs(-0.27381557--0.27400732)×9.55177978033683e-05×R²
    0.000191749999999991×9.55177978033683e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.55177978033683e-05×40589641000000     		ar = 682316.505465455m²