Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14955 / 14794
↖ ↑ ↗
← S 80.907615°
E148.601074°		 ← 386.09 m → S 80.907615°
E148.623047°		 →
↑
386.08 m
↓
↑
386.08 m
↓
S 80.911088°
E148.601074°		 ← 385.95 m →
149 036 m²		 S 80.911088°
E148.623047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912811279296875 y=0.902984619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912811279296875 × 214)
    floor (0.912811279296875 × 16384)
    floor (14955.5)     		tx = 14955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902984619140625 × 214)
    floor (0.902984619140625 × 16384)
    floor (14794.5)     		ty = 14794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14955 / 14794 ti = "14/14955/14794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14955/14794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14955 ÷ 214
    14955 ÷ 16384     		x = 0.91278076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14794 ÷ 214
    14794 ÷ 16384     		y = 0.9029541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91278076171875 × 2 - 1) × π
    0.8255615234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59357802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9029541015625 × 2 - 1) × π
    -0.805908203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53183529033289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59357802} λ = 2.59357802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53183529033289))-π/2
    2×atan(0.0795129569313701)-π/2
    2×0.0793460211976014-π/2
    0.158692042395203-1.57079632675     		φ = -1.41210428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59357802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.601074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41210428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.907615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14955 KachelY 14794 2.59357802 -1.41210428 148.601074 -80.907615
    Oben rechts KachelX + 1 14956 KachelY 14794 2.59396151 -1.41210428 148.623047 -80.907615
    Unten links KachelX 14955 KachelY + 1 14795 2.59357802 -1.41216488 148.601074 -80.911088
    Unten rechts KachelX + 1 14956 KachelY + 1 14795 2.59396151 -1.41216488 148.623047 -80.911088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41210428--1.41216488) × R
    6.05999999998552e-05 × 6371000     		dl = 386.082599999078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41210428--1.41216488) × R
    6.05999999998552e-05 × 6371000     		dr = 386.082599999078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59357802-2.59396151) × cos(-1.41210428) × R
    0.000383490000000375 × 0.158026823616833 × 6371000     		do = 386.093472677745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59357802-2.59396151) × cos(-1.41216488) × R
    0.000383490000000375 × 0.157966984776634 × 6371000     		du = 385.947273538355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41210428)-sin(-1.41216488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158026823616833-0.157966984776634)×R²
    abs(2.59396151-2.59357802)×5.98388401985006e-05×R²
    0.000383490000000375×5.98388401985006e-05×6371000²
    0.000383490000000375×5.98388401985006e-05×40589641000000     		ar = 149035.749348198m²