Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14954 / 15854
↖ ↑ ↗
← N 67.646855°
W 97.855225°		 ← 232.29 m → N 67.646855°
W 97.849732°		 →
↑
232.35 m
↓
↑
232.35 m
↓
N 67.644766°
W 97.855225°		 ← 232.31 m →
53 975 m²		 N 67.644766°
W 97.849732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228187561035156 y=0.241920471191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228187561035156 × 216)
    floor (0.228187561035156 × 65536)
    floor (14954.5)     		tx = 14954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241920471191406 × 216)
    floor (0.241920471191406 × 65536)
    floor (15854.5)     		ty = 15854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14954 / 15854 ti = "16/14954/15854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14954/15854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14954 ÷ 216
    14954 ÷ 65536     		x = 0.228179931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15854 ÷ 216
    15854 ÷ 65536     		y = 0.241912841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228179931640625 × 2 - 1) × π
    -0.54364013671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.70789586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241912841796875 × 2 - 1) × π
    0.51617431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62160944034726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70789586} λ = -1.70789586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62160944034726))-π/2
    2×atan(5.06122951201556)-π/2
    2×1.37572833700459-π/2
    2.75145667400918-1.57079632675     		φ = 1.18066035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70789586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.855225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18066035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.646855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14954 KachelY 15854 -1.70789586 1.18066035 -97.855225 67.646855
    Oben rechts KachelX + 1 14955 KachelY 15854 -1.70779999 1.18066035 -97.849732 67.646855
    Unten links KachelX 14954 KachelY + 1 15855 -1.70789586 1.18062388 -97.855225 67.644766
    Unten rechts KachelX + 1 14955 KachelY + 1 15855 -1.70779999 1.18062388 -97.849732 67.644766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18066035-1.18062388) × R
    3.64699999999551e-05 × 6371000     		dl = 232.350369999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18066035-1.18062388) × R
    3.64699999999551e-05 × 6371000     		dr = 232.350369999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70789586--1.70779999) × cos(1.18066035) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380314177777521 × 6371000     		do = 232.291248544111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70789586--1.70779999) × cos(1.18062388) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380347907072312 × 6371000     		du = 232.31184998486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18066035)-sin(1.18062388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380314177777521-0.380347907072312)×R²
    abs(-1.70779999--1.70789586)×3.37292947907297e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.37292947907297e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.37292947907297e-05×40589641000000     		ar = 53975.3509290819m²