Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14954 / 15698
↖ ↑ ↗
← N 79.519658°
W138.927613°		 ← 55.56 m → N 79.519658°
W138.924866°		 →
↑
55.56 m
↓
↑
55.56 m
↓
N 79.519159°
W138.927613°		 ← 55.56 m →
3 087 m²		 N 79.519159°
W138.924866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114093780517578 y=0.119770050048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114093780517578 × 217)
    floor (0.114093780517578 × 131072)
    floor (14954.5)     		tx = 14954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119770050048828 × 217)
    floor (0.119770050048828 × 131072)
    floor (15698.5)     		ty = 15698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14954 / 15698 ti = "17/14954/15698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14954/15698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14954 ÷ 217
    14954 ÷ 131072     		x = 0.114089965820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15698 ÷ 217
    15698 ÷ 131072     		y = 0.119766235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.114089965820312 × 2 - 1) × π
    -0.771820068359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.42474426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119766235351562 × 2 - 1) × π
    0.760467529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38907920326436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42474426} λ = -2.42474426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38907920326436))-π/2
    2×atan(10.9034494586187)-π/2
    2×1.47933809196528-π/2
    2.95867618393056-1.57079632675     		φ = 1.38787986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42474426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.927613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38787986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.519658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14954 KachelY 15698 -2.42474426 1.38787986 -138.927613 79.519658
    Oben rechts KachelX + 1 14955 KachelY 15698 -2.42469632 1.38787986 -138.924866 79.519658
    Unten links KachelX 14954 KachelY + 1 15699 -2.42474426 1.38787114 -138.927613 79.519159
    Unten rechts KachelX + 1 14955 KachelY + 1 15699 -2.42469632 1.38787114 -138.924866 79.519159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38787986-1.38787114) × R
    8.72000000007311e-06 × 6371000     		dl = 55.5551200004658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38787986-1.38787114) × R
    8.72000000007311e-06 × 6371000     		dr = 55.5551200004658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42474426--2.42469632) × cos(1.38787986) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.181898155427124 × 6371000     		do = 55.5563787264426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42474426--2.42469632) × cos(1.38787114) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.181906729947723 × 6371000     		du = 55.5589976057418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38787986)-sin(1.38787114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181898155427124-0.181906729947723)×R²
    abs(-2.42469632--2.42474426)×8.57452059913055e-06×R²
    4.79400000004127e-05×8.57452059913055e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×8.57452059913055e-06×40589641000000     		ar = 3086.51403300089m²