Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14953 / 8890
↖ ↑ ↗
← N 63.263299°
W 15.721435°		 ← 549.58 m → N 63.263299°
W 15.710449°		 →
↑
549.69 m
↓
↑
549.69 m
↓
N 63.258355°
W 15.721435°		 ← 549.67 m →
302 122 m²		 N 63.258355°
W 15.710449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456344604492188 y=0.271316528320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456344604492188 × 215)
    floor (0.456344604492188 × 32768)
    floor (14953.5)     		tx = 14953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271316528320312 × 215)
    floor (0.271316528320312 × 32768)
    floor (8890.5)     		ty = 8890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14953 / 8890 ti = "15/14953/8890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14953/8890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14953 ÷ 215
    14953 ÷ 32768     		x = 0.456329345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8890 ÷ 215
    8890 ÷ 32768     		y = 0.27130126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456329345703125 × 2 - 1) × π
    -0.08734130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27439081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27130126953125 × 2 - 1) × π
    0.4573974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4369565030108
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27439081} λ = -0.27439081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4369565030108))-π/2
    2×atan(4.20786967005559)-π/2
    2×1.33747459119005-π/2
    2.67494918238009-1.57079632675     		φ = 1.10415286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27439081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.721435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10415286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.263299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14953 KachelY 8890 -0.27439081 1.10415286 -15.721435 63.263299
    Oben rechts KachelX + 1 14954 KachelY 8890 -0.27419907 1.10415286 -15.710449 63.263299
    Unten links KachelX 14953 KachelY + 1 8891 -0.27439081 1.10406658 -15.721435 63.258355
    Unten rechts KachelX + 1 14954 KachelY + 1 8891 -0.27419907 1.10406658 -15.710449 63.258355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10415286-1.10406658) × R
    8.62799999998831e-05 × 6371000     		dl = 549.689879999255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10415286-1.10406658) × R
    8.62799999998831e-05 × 6371000     		dr = 549.689879999255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27439081--0.27419907) × cos(1.10415286) × R
    0.000191739999999996 × 0.449891161256927 × 6371000     		do = 549.576038253646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27439081--0.27419907) × cos(1.10406658) × R
    0.000191739999999996 × 0.449968214817246 × 6371000     		du = 549.670164998201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10415286)-sin(1.10406658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449891161256927-0.449968214817246)×R²
    abs(-0.27419907--0.27439081)×7.70535603188405e-05×R²
    0.000191739999999996×7.70535603188405e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.70535603188405e-05×40589641000000     		ar = 302122.256965708m²