Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14953 / 6889
↖ ↑ ↗
← N 71.604816°
W 15.721435°		 ← 385.49 m → N 71.604816°
W 15.710449°		 →
↑
385.57 m
↓
↑
385.57 m
↓
N 71.601348°
W 15.721435°		 ← 385.56 m →
148 649 m²		 N 71.601348°
W 15.710449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456344604492188 y=0.210250854492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456344604492188 × 215)
    floor (0.456344604492188 × 32768)
    floor (14953.5)     		tx = 14953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210250854492188 × 215)
    floor (0.210250854492188 × 32768)
    floor (6889.5)     		ty = 6889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14953 / 6889 ti = "15/14953/6889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14953/6889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14953 ÷ 215
    14953 ÷ 32768     		x = 0.456329345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6889 ÷ 215
    6889 ÷ 32768     		y = 0.210235595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456329345703125 × 2 - 1) × π
    -0.08734130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27439081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210235595703125 × 2 - 1) × π
    0.57952880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82064344756973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27439081} λ = -0.27439081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82064344756973))-π/2
    2×atan(6.1758309951291)-π/2
    2×1.41026806217024-π/2
    2.82053612434047-1.57079632675     		φ = 1.24973980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27439081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.721435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24973980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.604816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14953 KachelY 6889 -0.27439081 1.24973980 -15.721435 71.604816
    Oben rechts KachelX + 1 14954 KachelY 6889 -0.27419907 1.24973980 -15.710449 71.604816
    Unten links KachelX 14953 KachelY + 1 6890 -0.27439081 1.24967928 -15.721435 71.601348
    Unten rechts KachelX + 1 14954 KachelY + 1 6890 -0.27419907 1.24967928 -15.710449 71.601348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24973980-1.24967928) × R
    6.05199999998973e-05 × 6371000     		dl = 385.572919999346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24973980-1.24967928) × R
    6.05199999998973e-05 × 6371000     		dr = 385.572919999346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27439081--0.27419907) × cos(1.24973980) × R
    0.000191739999999996 × 0.31556927751614 × 6371000     		do = 385.49171058918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27439081--0.27419907) × cos(1.24967928) × R
    0.000191739999999996 × 0.315626704519934 × 6371000     		du = 385.56186201235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24973980)-sin(1.24967928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31556927751614-0.315626704519934)×R²
    abs(-0.27419907--0.27439081)×5.74270037939084e-05×R²
    0.000191739999999996×5.74270037939084e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.74270037939084e-05×40589641000000     		ar = 148648.68877777m²