Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14953 / 15702
↖ ↑ ↗
← N 79.517660°
W138.930359°		 ← 55.56 m → N 79.517660°
W138.927613°		 →
↑
55.62 m
↓
↑
55.62 m
↓
N 79.517160°
W138.930359°		 ← 55.56 m →
3 090 m²		 N 79.517160°
W138.927613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114086151123047 y=0.119800567626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114086151123047 × 217)
    floor (0.114086151123047 × 131072)
    floor (14953.5)     		tx = 14953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119800567626953 × 217)
    floor (0.119800567626953 × 131072)
    floor (15702.5)     		ty = 15702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14953 / 15702 ti = "17/14953/15702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14953/15702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14953 ÷ 217
    14953 ÷ 131072     		x = 0.114082336425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15702 ÷ 217
    15702 ÷ 131072     		y = 0.119796752929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.114082336425781 × 2 - 1) × π
    -0.771835327148438 × 3.1415926535     		Λ = -2.42479219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119796752929688 × 2 - 1) × π
    0.760406494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38888745566588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42479219} λ = -2.42479219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38888745566588))-π/2
    2×atan(10.9013589488014)-π/2
    2×1.4793206510536-π/2
    2.9586413021072-1.57079632675     		φ = 1.38784498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42479219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.930359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38784498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.517660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14953 KachelY 15702 -2.42479219 1.38784498 -138.930359 79.517660
    Oben rechts KachelX + 1 14954 KachelY 15702 -2.42474426 1.38784498 -138.927613 79.517660
    Unten links KachelX 14953 KachelY + 1 15703 -2.42479219 1.38783625 -138.930359 79.517160
    Unten rechts KachelX + 1 14954 KachelY + 1 15703 -2.42474426 1.38783625 -138.927613 79.517160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38784498-1.38783625) × R
    8.72999999979029e-06 × 6371000     		dl = 55.618829998664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38784498-1.38783625) × R
    8.72999999979029e-06 × 6371000     		dr = 55.618829998664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42479219--2.42474426) × cos(1.38784498) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.181932453426526 × 6371000     		do = 55.5552633007238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42479219--2.42474426) × cos(1.38783625) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.181941037724888 × 6371000     		du = 55.5578846194977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38784498)-sin(1.38783625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181932453426526-0.181941037724888)×R²
    abs(-2.42474426--2.42479219)×8.58429836175789e-06×R²
    4.79299999995852e-05×8.58429836175789e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×8.58429836175789e-06×40589641000000     		ar = 3089.99164241312m²