Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14952 / 8913
↖ ↑ ↗
← N 63.149394°
W 15.732422°		 ← 551.77 m → N 63.149394°
W 15.721435°		 →
↑
551.86 m
↓
↑
551.86 m
↓
N 63.144431°
W 15.732422°		 ← 551.87 m →
304 525 m²		 N 63.144431°
W 15.721435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456314086914062 y=0.272018432617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456314086914062 × 215)
    floor (0.456314086914062 × 32768)
    floor (14952.5)     		tx = 14952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272018432617188 × 215)
    floor (0.272018432617188 × 32768)
    floor (8913.5)     		ty = 8913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14952 / 8913 ti = "15/14952/8913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14952/8913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14952 ÷ 215
    14952 ÷ 32768     		x = 0.456298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8913 ÷ 215
    8913 ÷ 32768     		y = 0.272003173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456298828125 × 2 - 1) × π
    -0.08740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27458256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272003173828125 × 2 - 1) × π
    0.45599365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.43254630824576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27458256} λ = -0.27458256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43254630824576))-π/2
    2×atan(4.18935300632358)-π/2
    2×1.33648058175869-π/2
    2.67296116351737-1.57079632675     		φ = 1.10216484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27458256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.732422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10216484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.149394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14952 KachelY 8913 -0.27458256 1.10216484 -15.732422 63.149394
    Oben rechts KachelX + 1 14953 KachelY 8913 -0.27439081 1.10216484 -15.721435 63.149394
    Unten links KachelX 14952 KachelY + 1 8914 -0.27458256 1.10207822 -15.732422 63.144431
    Unten rechts KachelX + 1 14953 KachelY + 1 8914 -0.27439081 1.10207822 -15.721435 63.144431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10216484-1.10207822) × R
    8.66199999998152e-05 × 6371000     		dl = 551.856019998822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10216484-1.10207822) × R
    8.66199999998152e-05 × 6371000     		dr = 551.856019998822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27458256--0.27439081) × cos(1.10216484) × R
    0.000191749999999991 × 0.451665738695188 × 6371000     		do = 551.772594270258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27458256--0.27439081) × cos(1.10207822) × R
    0.000191749999999991 × 0.451743018258869 × 6371000     		du = 551.867002018474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10216484)-sin(1.10207822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451665738695188-0.451743018258869)×R²
    abs(-0.27439081--0.27458256)×7.72795636816426e-05×R²
    0.000191749999999991×7.72795636816426e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.72795636816426e-05×40589641000000     		ar = 304525.077751129m²