Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14952 / 20824
↖ ↑ ↗
← S 43.771094°
W 15.732422°		 ← 882.16 m → S 43.771094°
W 15.721435°		 →
↑
882.13 m
↓
↑
882.13 m
↓
S 43.779027°
W 15.732422°		 ← 882.04 m →
778 124 m²		 S 43.779027°
W 15.721435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456314086914062 y=0.635513305664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456314086914062 × 215)
    floor (0.456314086914062 × 32768)
    floor (14952.5)     		tx = 14952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635513305664062 × 215)
    floor (0.635513305664062 × 32768)
    floor (20824.5)     		ty = 20824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14952 / 20824 ti = "15/14952/20824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14952/20824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14952 ÷ 215
    14952 ÷ 32768     		x = 0.456298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20824 ÷ 215
    20824 ÷ 32768     		y = 0.635498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456298828125 × 2 - 1) × π
    -0.08740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27458256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635498046875 × 2 - 1) × π
    -0.27099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.851359337252197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27458256} λ = -0.27458256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.851359337252197))-π/2
    2×atan(0.426834325618894)-π/2
    2×0.403423311246641-π/2
    0.806846622493282-1.57079632675     		φ = -0.76394970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27458256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.732422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76394970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.771094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14952 KachelY 20824 -0.27458256 -0.76394970 -15.732422 -43.771094
    Oben rechts KachelX + 1 14953 KachelY 20824 -0.27439081 -0.76394970 -15.721435 -43.771094
    Unten links KachelX 14952 KachelY + 1 20825 -0.27458256 -0.76408816 -15.732422 -43.779027
    Unten rechts KachelX + 1 14953 KachelY + 1 20825 -0.27439081 -0.76408816 -15.721435 -43.779027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76394970--0.76408816) × R
    0.000138460000000062 × 6371000     		dl = 882.128660000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76394970--0.76408816) × R
    0.000138460000000062 × 6371000     		dr = 882.128660000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27458256--0.27439081) × cos(-0.76394970) × R
    0.000191749999999991 × 0.722109331023211 × 6371000     		do = 882.157101569153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27458256--0.27439081) × cos(-0.76408816) × R
    0.000191749999999991 × 0.72201354038842 × 6371000     		du = 882.040079969911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76394970)-sin(-0.76408816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722109331023211-0.72201354038842)×R²
    abs(-0.27439081--0.27458256)×9.57906347903714e-05×R²
    0.000191749999999991×9.57906347903714e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.57906347903714e-05×40589641000000     		ar = 778124.449106885m²