Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14951 / 8914
↖ ↑ ↗
← N 63.144431°
W 15.743408°		 ← 551.87 m → N 63.144431°
W 15.732422°		 →
↑
551.86 m
↓
↑
551.86 m
↓
N 63.139468°
W 15.743408°		 ← 551.96 m →
304 577 m²		 N 63.139468°
W 15.732422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456283569335938 y=0.272048950195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456283569335938 × 215)
    floor (0.456283569335938 × 32768)
    floor (14951.5)     		tx = 14951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272048950195312 × 215)
    floor (0.272048950195312 × 32768)
    floor (8914.5)     		ty = 8914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14951 / 8914 ti = "15/14951/8914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14951/8914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14951 ÷ 215
    14951 ÷ 32768     		x = 0.456268310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8914 ÷ 215
    8914 ÷ 32768     		y = 0.27203369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456268310546875 × 2 - 1) × π
    -0.08746337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27477431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27203369140625 × 2 - 1) × π
    0.4559326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43235456064728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27477431} λ = -0.27477431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43235456064728))-π/2
    2×atan(4.18854978495578)-π/2
    2×1.33643727514388-π/2
    2.67287455028775-1.57079632675     		φ = 1.10207822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27477431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.743408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10207822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.144431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14951 KachelY 8914 -0.27477431 1.10207822 -15.743408 63.144431
    Oben rechts KachelX + 1 14952 KachelY 8914 -0.27458256 1.10207822 -15.732422 63.144431
    Unten links KachelX 14951 KachelY + 1 8915 -0.27477431 1.10199160 -15.743408 63.139468
    Unten rechts KachelX + 1 14952 KachelY + 1 8915 -0.27458256 1.10199160 -15.732422 63.139468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10207822-1.10199160) × R
    8.66200000000372e-05 × 6371000     		dl = 551.856020000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10207822-1.10199160) × R
    8.66200000000372e-05 × 6371000     		dr = 551.856020000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27477431--0.27458256) × cos(1.10207822) × R
    0.000191750000000046 × 0.451743018258869 × 6371000     		do = 551.867002018634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27477431--0.27458256) × cos(1.10199160) × R
    0.000191750000000046 × 0.451820294433112 × 6371000     		du = 551.961405626179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10207822)-sin(1.10199160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451743018258869-0.451820294433112)×R²
    abs(-0.27458256--0.27477431)×7.72761742428574e-05×R²
    0.000191750000000046×7.72761742428574e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.72761742428574e-05×40589641000000     		ar = 304577.176093291m²