Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14951 / 14965
↖ ↑ ↗
← N 69.432481°
W 97.871704°		 ← 214.58 m → N 69.432481°
W 97.866211°		 →
↑
214.64 m
↓
↑
214.64 m
↓
N 69.430551°
W 97.871704°		 ← 214.60 m →
46 059 m²		 N 69.430551°
W 97.866211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228141784667969 y=0.228355407714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228141784667969 × 216)
    floor (0.228141784667969 × 65536)
    floor (14951.5)     		tx = 14951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228355407714844 × 216)
    floor (0.228355407714844 × 65536)
    floor (14965.5)     		ty = 14965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14951 / 14965 ti = "16/14951/14965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14951/14965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14951 ÷ 216
    14951 ÷ 65536     		x = 0.228134155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14965 ÷ 216
    14965 ÷ 65536     		y = 0.228347778320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228134155273438 × 2 - 1) × π
    -0.543731689453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.70818348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228347778320312 × 2 - 1) × π
    0.543304443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.70684124787172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70818348} λ = -1.70818348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70684124787172))-π/2
    2×atan(5.51152441297042)-π/2
    2×1.39131086171723-π/2
    2.78262172343446-1.57079632675     		φ = 1.21182540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70818348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.871704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21182540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.432481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14951 KachelY 14965 -1.70818348 1.21182540 -97.871704 69.432481
    Oben rechts KachelX + 1 14952 KachelY 14965 -1.70808761 1.21182540 -97.866211 69.432481
    Unten links KachelX 14951 KachelY + 1 14966 -1.70818348 1.21179171 -97.871704 69.430551
    Unten rechts KachelX + 1 14952 KachelY + 1 14966 -1.70808761 1.21179171 -97.866211 69.430551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21182540-1.21179171) × R
    3.36899999999751e-05 × 6371000     		dl = 214.638989999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21182540-1.21179171) × R
    3.36899999999751e-05 × 6371000     		dr = 214.638989999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70818348--1.70808761) × cos(1.21182540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351310940573367 × 6371000     		do = 214.576425969405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70818348--1.70808761) × cos(1.21179171) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351342482934445 × 6371000     		du = 214.595691657788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21182540)-sin(1.21179171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351310940573367-0.351342482934445)×R²
    abs(-1.70808761--1.70818348)×3.15423610777188e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.15423610777188e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.15423610777188e-05×40589641000000     		ar = 46058.5349362867m²