Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14951 / 14805
↖ ↑ ↗
← S 80.945731°
E148.513184°		 ← 384.49 m → S 80.945731°
E148.535156°		 →
↑
384.36 m
↓
↑
384.36 m
↓
S 80.949188°
E148.513184°		 ← 384.34 m →
147 755 m²		 S 80.949188°
E148.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912567138671875 y=0.903656005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912567138671875 × 214)
    floor (0.912567138671875 × 16384)
    floor (14951.5)     		tx = 14951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903656005859375 × 214)
    floor (0.903656005859375 × 16384)
    floor (14805.5)     		ty = 14805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14951 / 14805 ti = "14/14951/14805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14951/14805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14951 ÷ 214
    14951 ÷ 16384     		x = 0.91253662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14805 ÷ 214
    14805 ÷ 16384     		y = 0.90362548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91253662109375 × 2 - 1) × π
    0.8250732421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59204404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90362548828125 × 2 - 1) × π
    -0.8072509765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53605373749945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59204404} λ = 2.59204404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53605373749945))-π/2
    2×atan(0.079178242208048)-π/2
    2×0.0790134005650631-π/2
    0.158026801130126-1.57079632675     		φ = -1.41276953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59204404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.513184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41276953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.945731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14951 KachelY 14805 2.59204404 -1.41276953 148.513184 -80.945731
    Oben rechts KachelX + 1 14952 KachelY 14805 2.59242753 -1.41276953 148.535156 -80.945731
    Unten links KachelX 14951 KachelY + 1 14806 2.59204404 -1.41282986 148.513184 -80.949188
    Unten rechts KachelX + 1 14952 KachelY + 1 14806 2.59242753 -1.41282986 148.535156 -80.949188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41276953--1.41282986) × R
    6.03299999999418e-05 × 6371000     		dl = 384.362429999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41276953--1.41282986) × R
    6.03299999999418e-05 × 6371000     		dr = 384.362429999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59204404-2.59242753) × cos(-1.41276953) × R
    0.000383489999999931 × 0.157369897683544 × 6371000     		do = 384.488461521153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59204404-2.59242753) × cos(-1.41282986) × R
    0.000383489999999931 × 0.157310319125372 × 6371000     		du = 384.342898306659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41276953)-sin(-1.41282986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157369897683544-0.157310319125372)×R²
    abs(2.59242753-2.59204404)×5.95785581725961e-05×R²
    0.000383489999999931×5.95785581725961e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.95785581725961e-05×40589641000000     		ar = 147754.94490665m²