Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14951 / 14728
↖ ↑ ↗
← S 80.675559°
E148.513184°		 ← 395.86 m → S 80.675559°
E148.535156°		 →
↑
395.77 m
↓
↑
395.77 m
↓
S 80.679118°
E148.513184°		 ← 395.71 m →
156 639 m²		 S 80.679118°
E148.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912567138671875 y=0.898956298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912567138671875 × 214)
    floor (0.912567138671875 × 16384)
    floor (14951.5)     		tx = 14951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898956298828125 × 214)
    floor (0.898956298828125 × 16384)
    floor (14728.5)     		ty = 14728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14951 / 14728 ti = "14/14951/14728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14951/14728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14951 ÷ 214
    14951 ÷ 16384     		x = 0.91253662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14728 ÷ 214
    14728 ÷ 16384     		y = 0.89892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91253662109375 × 2 - 1) × π
    0.8250732421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59204404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89892578125 × 2 - 1) × π
    -0.7978515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.5065246073335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59204404} λ = 2.59204404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5065246073335))-π/2
    2×atan(0.0815511696459188)-π/2
    2×0.0813710997578913-π/2
    0.162742199515783-1.57079632675     		φ = -1.40805413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59204404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.513184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40805413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.675559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14951 KachelY 14728 2.59204404 -1.40805413 148.513184 -80.675559
    Oben rechts KachelX + 1 14952 KachelY 14728 2.59242753 -1.40805413 148.535156 -80.675559
    Unten links KachelX 14951 KachelY + 1 14729 2.59204404 -1.40811625 148.513184 -80.679118
    Unten rechts KachelX + 1 14952 KachelY + 1 14729 2.59242753 -1.40811625 148.535156 -80.679118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40805413--1.40811625) × R
    6.21199999999433e-05 × 6371000     		dl = 395.766519999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40805413--1.40811625) × R
    6.21199999999433e-05 × 6371000     		dr = 395.766519999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59204404-2.59242753) × cos(-1.40805413) × R
    0.000383489999999931 × 0.162024775706063 × 6371000     		do = 395.861328351414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59204404-2.59242753) × cos(-1.40811625) × R
    0.000383489999999931 × 0.161963476204286 × 6371000     		du = 395.711560502053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40805413)-sin(-1.40811625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162024775706063-0.161963476204286)×R²
    abs(2.59242753-2.59204404)×6.129950177719e-05×R²
    0.000383489999999931×6.129950177719e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.129950177719e-05×40589641000000     		ar = 156639.023823759m²