Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14950 / 6888
↖ ↑ ↗
← N 71.608282°
W 15.754395°		 ← 385.44 m → N 71.608282°
W 15.743408°		 →
↑
385.45 m
↓
↑
385.45 m
↓
N 71.604816°
W 15.754395°		 ← 385.51 m →
148 580 m²		 N 71.604816°
W 15.743408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456253051757812 y=0.210220336914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456253051757812 × 215)
    floor (0.456253051757812 × 32768)
    floor (14950.5)     		tx = 14950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210220336914062 × 215)
    floor (0.210220336914062 × 32768)
    floor (6888.5)     		ty = 6888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14950 / 6888 ti = "15/14950/6888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14950/6888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14950 ÷ 215
    14950 ÷ 32768     		x = 0.45623779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6888 ÷ 215
    6888 ÷ 32768     		y = 0.210205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45623779296875 × 2 - 1) × π
    -0.0875244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27496606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210205078125 × 2 - 1) × π
    0.57958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82083519516821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27496606} λ = -0.27496606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82083519516821))-π/2
    2×atan(6.17701530943211)-π/2
    2×1.41029831424374-π/2
    2.82059662848748-1.57079632675     		φ = 1.24980030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27496606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.754395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24980030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.608282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14950 KachelY 6888 -0.27496606 1.24980030 -15.754395 71.608282
    Oben rechts KachelX + 1 14951 KachelY 6888 -0.27477431 1.24980030 -15.743408 71.608282
    Unten links KachelX 14950 KachelY + 1 6889 -0.27496606 1.24973980 -15.754395 71.604816
    Unten rechts KachelX + 1 14951 KachelY + 1 6889 -0.27477431 1.24973980 -15.743408 71.604816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24980030-1.24973980) × R
    6.05000000000189e-05 × 6371000     		dl = 385.44550000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24980030-1.24973980) × R
    6.05000000000189e-05 × 6371000     		dr = 385.44550000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27496606--0.27477431) × cos(1.24980030) × R
    0.000191749999999991 × 0.315511868334952 × 6371000     		do = 385.441682198791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27496606--0.27477431) × cos(1.24973980) × R
    0.000191749999999991 × 0.31556927751614 × 6371000     		du = 385.51181550784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24980030)-sin(1.24973980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315511868334952-0.31556927751614)×R²
    abs(-0.27477431--0.27496606)×5.74091811875177e-05×R²
    0.000191749999999991×5.74091811875177e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.74091811875177e-05×40589641000000     		ar = 148580.27824561m²