Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14950 / 14802
↖ ↑ ↗
← S 80.935352°
E148.491211°		 ← 384.94 m → S 80.935352°
E148.513184°		 →
↑
384.87 m
↓
↑
384.87 m
↓
S 80.938813°
E148.491211°		 ← 384.79 m →
148 123 m²		 S 80.938813°
E148.513184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912506103515625 y=0.903472900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912506103515625 × 214)
    floor (0.912506103515625 × 16384)
    floor (14950.5)     		tx = 14950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903472900390625 × 214)
    floor (0.903472900390625 × 16384)
    floor (14802.5)     		ty = 14802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14950 / 14802 ti = "14/14950/14802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14950/14802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14950 ÷ 214
    14950 ÷ 16384     		x = 0.9124755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14802 ÷ 214
    14802 ÷ 16384     		y = 0.9034423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9124755859375 × 2 - 1) × π
    0.824951171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59166054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9034423828125 × 2 - 1) × π
    -0.806884765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53490325190857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59166054} λ = 2.59166054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53490325190857))-π/2
    2×atan(0.0792693880557584)-π/2
    2×0.0791039779118858-π/2
    0.158207955823772-1.57079632675     		φ = -1.41258837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59166054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.491211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41258837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.935352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14950 KachelY 14802 2.59166054 -1.41258837 148.491211 -80.935352
    Oben rechts KachelX + 1 14951 KachelY 14802 2.59204404 -1.41258837 148.513184 -80.935352
    Unten links KachelX 14950 KachelY + 1 14803 2.59166054 -1.41264878 148.491211 -80.938813
    Unten rechts KachelX + 1 14951 KachelY + 1 14803 2.59204404 -1.41264878 148.513184 -80.938813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41258837--1.41264878) × R
    6.04100000001218e-05 × 6371000     		dl = 384.872110000776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41258837--1.41264878) × R
    6.04100000001218e-05 × 6371000     		dr = 384.872110000776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59166054-2.59204404) × cos(-1.41258837) × R
    0.000383500000000314 × 0.157548797797418 × 6371000     		do = 384.935590359595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59166054-2.59204404) × cos(-1.41264878) × R
    0.000383500000000314 × 0.157489141958196 × 6371000     		du = 384.789834530224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41258837)-sin(-1.41264878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157548797797418-0.157489141958196)×R²
    abs(2.59204404-2.59166054)×5.96558392218782e-05×R²
    0.000383500000000314×5.96558392218782e-05×6371000²
    0.000383500000000314×5.96558392218782e-05×40589641000000     		ar = 148122.924245355m²