Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14949 / 21283
↖ ↑ ↗
← S 47.301584°
W 15.765381°		 ← 828.40 m → S 47.301584°
W 15.754395°		 →
↑
828.36 m
↓
↑
828.36 m
↓
S 47.309034°
W 15.765381°		 ← 828.28 m →
686 162 m²		 S 47.309034°
W 15.754395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456222534179688 y=0.649520874023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456222534179688 × 215)
    floor (0.456222534179688 × 32768)
    floor (14949.5)     		tx = 14949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649520874023438 × 215)
    floor (0.649520874023438 × 32768)
    floor (21283.5)     		ty = 21283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14949 / 21283 ti = "15/14949/21283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14949/21283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14949 ÷ 215
    14949 ÷ 32768     		x = 0.456207275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21283 ÷ 215
    21283 ÷ 32768     		y = 0.649505615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456207275390625 × 2 - 1) × π
    -0.08758544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27515780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649505615234375 × 2 - 1) × π
    -0.29901123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.93937148495462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27515780} λ = -0.27515780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.93937148495462))-π/2
    2×atan(0.390873428001439)-π/2
    2×0.372613967840014-π/2
    0.745227935680029-1.57079632675     		φ = -0.82556839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27515780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.765381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82556839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.301584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14949 KachelY 21283 -0.27515780 -0.82556839 -15.765381 -47.301584
    Oben rechts KachelX + 1 14950 KachelY 21283 -0.27496606 -0.82556839 -15.754395 -47.301584
    Unten links KachelX 14949 KachelY + 1 21284 -0.27515780 -0.82569841 -15.765381 -47.309034
    Unten rechts KachelX + 1 14950 KachelY + 1 21284 -0.27496606 -0.82569841 -15.754395 -47.309034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82556839--0.82569841) × R
    0.000130019999999953 × 6371000     		dl = 828.3574199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82556839--0.82569841) × R
    0.000130019999999953 × 6371000     		dr = 828.3574199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27515780--0.27496606) × cos(-0.82556839) × R
    0.000191739999999996 × 0.678139346422626 × 6371000     		do = 828.398438301448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27515780--0.27496606) × cos(-0.82569841) × R
    0.000191739999999996 × 0.678043784656874 × 6371000     		du = 828.281702385846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82556839)-sin(-0.82569841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678139346422626-0.678043784656874)×R²
    abs(-0.27496606--0.27515780)×9.55617657519836e-05×R²
    0.000191739999999996×9.55617657519836e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.55617657519836e-05×40589641000000     		ar = 686161.644518723m²