Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14949 / 20725
↖ ↑ ↗
← S 42.980540°
W 15.765381°		 ← 893.69 m → S 42.980540°
W 15.754395°		 →
↑
893.66 m
↓
↑
893.66 m
↓
S 42.988576°
W 15.765381°		 ← 893.57 m →
798 600 m²		 S 42.988576°
W 15.754395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456222534179688 y=0.632492065429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456222534179688 × 215)
    floor (0.456222534179688 × 32768)
    floor (14949.5)     		tx = 14949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632492065429688 × 215)
    floor (0.632492065429688 × 32768)
    floor (20725.5)     		ty = 20725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14949 / 20725 ti = "15/14949/20725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14949/20725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14949 ÷ 215
    14949 ÷ 32768     		x = 0.456207275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20725 ÷ 215
    20725 ÷ 32768     		y = 0.632476806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456207275390625 × 2 - 1) × π
    -0.08758544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27515780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632476806640625 × 2 - 1) × π
    -0.26495361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.832376325002655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27515780} λ = -0.27515780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.832376325002655))-π/2
    2×atan(0.435014321693252)-π/2
    2×0.410322198712253-π/2
    0.820644397424506-1.57079632675     		φ = -0.75015193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27515780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.765381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75015193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.980540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14949 KachelY 20725 -0.27515780 -0.75015193 -15.765381 -42.980540
    Oben rechts KachelX + 1 14950 KachelY 20725 -0.27496606 -0.75015193 -15.754395 -42.980540
    Unten links KachelX 14949 KachelY + 1 20726 -0.27515780 -0.75029220 -15.765381 -42.988576
    Unten rechts KachelX + 1 14950 KachelY + 1 20726 -0.27496606 -0.75029220 -15.754395 -42.988576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75015193--0.75029220) × R
    0.000140269999999942 × 6371000     		dl = 893.660169999633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75015193--0.75029220) × R
    0.000140269999999942 × 6371000     		dr = 893.660169999633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27515780--0.27496606) × cos(-0.75015193) × R
    0.000191739999999996 × 0.731585299052723 × 6371000     		do = 893.686706746371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27515780--0.27496606) × cos(-0.75029220) × R
    0.000191739999999996 × 0.731489662794871 × 6371000     		du = 893.569879833043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75015193)-sin(-0.75029220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731585299052723-0.731489662794871)×R²
    abs(-0.27496606--0.27515780)×9.56362578510284e-05×R²
    0.000191739999999996×9.56362578510284e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.56362578510284e-05×40589641000000     		ar = 798600.01380697m²