Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 14949 / 14807
↖ ↑ ↗
← S 80.952644°
E148.469239°		 ← 384.20 m → S 80.952644°
E148.491211°		 →
↑
384.11 m
↓
↑
384.11 m
↓
S 80.956099°
E148.469239°		 ← 384.05 m →
147 545 m²		 S 80.956099°
E148.491211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912445068359375 y=0.903778076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912445068359375 × 214)
    floor (0.912445068359375 × 16384)
    floor (14949.5)     		tx = 14949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903778076171875 × 214)
    floor (0.903778076171875 × 16384)
    floor (14807.5)     		ty = 14807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14949 / 14807 ti = "14/14949/14807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14949/14807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14949 ÷ 214
    14949 ÷ 16384     		x = 0.91241455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14807 ÷ 214
    14807 ÷ 16384     		y = 0.90374755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91241455078125 × 2 - 1) × π
    0.8248291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59127705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90374755859375 × 2 - 1) × π
    -0.8074951171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53682072789337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59127705} λ = 2.59127705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53682072789337))-π/2
    2×atan(0.0791175365401749)-π/2
    2×0.0789530728136737-π/2
    0.157906145627347-1.57079632675     		φ = -1.41289018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59127705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.469239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41289018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.952644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14949 KachelY 14807 2.59127705 -1.41289018 148.469239 -80.952644
    Oben rechts KachelX + 1 14950 KachelY 14807 2.59166054 -1.41289018 148.491211 -80.952644
    Unten links KachelX 14949 KachelY + 1 14808 2.59127705 -1.41295047 148.469239 -80.956099
    Unten rechts KachelX + 1 14950 KachelY + 1 14808 2.59166054 -1.41295047 148.491211 -80.956099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41289018--1.41295047) × R
    6.02899999999629e-05 × 6371000     		dl = 384.107589999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41289018--1.41295047) × R
    6.02899999999629e-05 × 6371000     		dr = 384.107589999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59127705-2.59166054) × cos(-1.41289018) × R
    0.000383489999999931 × 0.157250749870223 × 6371000     		do = 384.197357821449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59127705-2.59166054) × cos(-1.41295047) × R
    0.000383489999999931 × 0.157191209669962 × 6371000     		du = 384.051888323572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41289018)-sin(-1.41295047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157250749870223-0.157191209669962)×R²
    abs(2.59166054-2.59127705)×5.95402002608603e-05×R²
    0.000383489999999931×5.95402002608603e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.95402002608603e-05×40589641000000     		ar = 147545.183272081m²