Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14949 / 10877
↖ ↑ ↗
← N 76.020075°
W 97.882691°		 ← 147.57 m → N 76.020075°
W 97.877197°		 →
↑
147.55 m
↓
↑
147.55 m
↓
N 76.018748°
W 97.882691°		 ← 147.58 m →
21 775 m²		 N 76.018748°
W 97.877197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228111267089844 y=0.165977478027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228111267089844 × 216)
    floor (0.228111267089844 × 65536)
    floor (14949.5)     		tx = 14949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165977478027344 × 216)
    floor (0.165977478027344 × 65536)
    floor (10877.5)     		ty = 10877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14949 / 10877 ti = "16/14949/10877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14949/10877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14949 ÷ 216
    14949 ÷ 65536     		x = 0.228103637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10877 ÷ 216
    10877 ÷ 65536     		y = 0.165969848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228103637695312 × 2 - 1) × π
    -0.543792724609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.70837523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165969848632812 × 2 - 1) × π
    0.668060302734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.0987733391653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70837523} λ = -1.70837523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0987733391653))-π/2
    2×atan(8.15615893305992)-π/2
    2×1.44879846977428-π/2
    2.89759693954855-1.57079632675     		φ = 1.32680061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70837523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.882691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32680061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.020075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14949 KachelY 10877 -1.70837523 1.32680061 -97.882691 76.020075
    Oben rechts KachelX + 1 14950 KachelY 10877 -1.70827935 1.32680061 -97.877197 76.020075
    Unten links KachelX 14949 KachelY + 1 10878 -1.70837523 1.32677745 -97.882691 76.018748
    Unten rechts KachelX + 1 14950 KachelY + 1 10878 -1.70827935 1.32677745 -97.877197 76.018748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32680061-1.32677745) × R
    2.31600000000221e-05 × 6371000     		dl = 147.55236000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32680061-1.32677745) × R
    2.31600000000221e-05 × 6371000     		dr = 147.55236000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70837523--1.70827935) × cos(1.32680061) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.241581910010939 × 6371000     		do = 147.570667271312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70837523--1.70827935) × cos(1.32677745) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.241604383956927 × 6371000     		du = 147.58439551448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32680061)-sin(1.32677745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241581910010939-0.241604383956927)×R²
    abs(-1.70827935--1.70837523)×2.24739459880885e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.24739459880885e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.24739459880885e-05×40589641000000     		ar = 21775.413040933m²