Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14948 / 6884
↖ ↑ ↗
← N 71.622143°
W 15.776367°		 ← 385.16 m → N 71.622143°
W 15.765381°		 →
↑
385.19 m
↓
↑
385.19 m
↓
N 71.618679°
W 15.776367°		 ← 385.23 m →
148 374 m²		 N 71.618679°
W 15.765381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456192016601562 y=0.210098266601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456192016601562 × 215)
    floor (0.456192016601562 × 32768)
    floor (14948.5)     		tx = 14948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210098266601562 × 215)
    floor (0.210098266601562 × 32768)
    floor (6884.5)     		ty = 6884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14948 / 6884 ti = "15/14948/6884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14948/6884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14948 ÷ 215
    14948 ÷ 32768     		x = 0.4561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6884 ÷ 215
    6884 ÷ 32768     		y = 0.2100830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27534955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2100830078125 × 2 - 1) × π
    0.579833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82160218556213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27534955} λ = -0.27534955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82160218556213))-π/2
    2×atan(6.18175483819172)-π/2
    2×1.41041926750697-π/2
    2.82083853501394-1.57079632675     		φ = 1.25004221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27534955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.776367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25004221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.622143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14948 KachelY 6884 -0.27534955 1.25004221 -15.776367 71.622143
    Oben rechts KachelX + 1 14949 KachelY 6884 -0.27515780 1.25004221 -15.765381 71.622143
    Unten links KachelX 14948 KachelY + 1 6885 -0.27534955 1.24998175 -15.776367 71.618679
    Unten rechts KachelX + 1 14949 KachelY + 1 6885 -0.27515780 1.24998175 -15.765381 71.618679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25004221-1.24998175) × R
    6.04600000000399e-05 × 6371000     		dl = 385.190660000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25004221-1.24998175) × R
    6.04600000000399e-05 × 6371000     		dr = 385.190660000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27534955--0.27515780) × cos(1.25004221) × R
    0.000191749999999991 × 0.315282305473595 × 6371000     		do = 385.161239197015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27534955--0.27515780) × cos(1.24998175) × R
    0.000191749999999991 × 0.31533968131206 × 6371000     		du = 385.231331773285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25004221)-sin(1.24998175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315282305473595-0.31533968131206)×R²
    abs(-0.27515780--0.27534955)×5.73758384648237e-05×R²
    0.000191749999999991×5.73758384648237e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.73758384648237e-05×40589641000000     		ar = 148374.01148091m²