Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14948 / 14787
↖ ↑ ↗
← S 80.883277°
E148.447266°		 ← 387.13 m → S 80.883277°
E148.469239°		 →
↑
387.10 m
↓
↑
387.10 m
↓
S 80.886759°
E148.447266°		 ← 386.98 m →
149 830 m²		 S 80.886759°
E148.469239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912384033203125 y=0.902557373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912384033203125 × 214)
    floor (0.912384033203125 × 16384)
    floor (14948.5)     		tx = 14948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902557373046875 × 214)
    floor (0.902557373046875 × 16384)
    floor (14787.5)     		ty = 14787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14948 / 14787 ti = "14/14948/14787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14948/14787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14948 ÷ 214
    14948 ÷ 16384     		x = 0.912353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14787 ÷ 214
    14787 ÷ 16384     		y = 0.90252685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912353515625 × 2 - 1) × π
    0.82470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59089355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90252685546875 × 2 - 1) × π
    -0.8050537109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52915082395416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59089355} λ = 2.59089355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52915082395416))-π/2
    2×atan(0.0797266935469492)-π/2
    2×0.0795584114036397-π/2
    0.159116822807279-1.57079632675     		φ = -1.41167950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59089355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.447266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41167950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.883277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14948 KachelY 14787 2.59089355 -1.41167950 148.447266 -80.883277
    Oben rechts KachelX + 1 14949 KachelY 14787 2.59127705 -1.41167950 148.469239 -80.883277
    Unten links KachelX 14948 KachelY + 1 14788 2.59089355 -1.41174026 148.447266 -80.886759
    Unten rechts KachelX + 1 14949 KachelY + 1 14788 2.59127705 -1.41174026 148.469239 -80.886759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41167950--1.41174026) × R
    6.0759999999993e-05 × 6371000     		dl = 387.101959999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41167950--1.41174026) × R
    6.0759999999993e-05 × 6371000     		dr = 387.101959999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59089355-2.59127705) × cos(-1.41167950) × R
    0.00038349999999987 × 0.158446251909876 × 6371000     		do = 387.128320696852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59089355-2.59127705) × cos(-1.41174026) × R
    0.00038349999999987 × 0.158386259161825 × 6371000     		du = 386.981741705384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41167950)-sin(-1.41174026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158446251909876-0.158386259161825)×R²
    abs(2.59127705-2.59089355)×5.99927480509632e-05×R²
    0.00038349999999987×5.99927480509632e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.99927480509632e-05×40589641000000     		ar = 149829.761250797m²