Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14947 / 14804
↖ ↑ ↗
← S 80.942273°
E148.425293°		 ← 384.63 m → S 80.942273°
E148.447266°		 →
↑
384.62 m
↓
↑
384.62 m
↓
S 80.945731°
E148.425293°		 ← 384.49 m →
147 909 m²		 S 80.945731°
E148.447266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912322998046875 y=0.903594970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912322998046875 × 214)
    floor (0.912322998046875 × 16384)
    floor (14947.5)     		tx = 14947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903594970703125 × 214)
    floor (0.903594970703125 × 16384)
    floor (14804.5)     		ty = 14804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14947 / 14804 ti = "14/14947/14804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14947/14804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14947 ÷ 214
    14947 ÷ 16384     		x = 0.91229248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14804 ÷ 214
    14804 ÷ 16384     		y = 0.903564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91229248046875 × 2 - 1) × π
    0.8245849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59051006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903564453125 × 2 - 1) × π
    -0.80712890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53567024230249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59051006} λ = 2.59051006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53567024230249))-π/2
    2×atan(0.0792086125066982)-π/2
    2×0.0790435815804868-π/2
    0.158087163160974-1.57079632675     		φ = -1.41270916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59051006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.425293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41270916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.942273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14947 KachelY 14804 2.59051006 -1.41270916 148.425293 -80.942273
    Oben rechts KachelX + 1 14948 KachelY 14804 2.59089355 -1.41270916 148.447266 -80.942273
    Unten links KachelX 14947 KachelY + 1 14805 2.59051006 -1.41276953 148.425293 -80.945731
    Unten rechts KachelX + 1 14948 KachelY + 1 14805 2.59089355 -1.41276953 148.447266 -80.945731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41270916--1.41276953) × R
    6.03700000001428e-05 × 6371000     		dl = 384.61727000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41270916--1.41276953) × R
    6.03700000001428e-05 × 6371000     		dr = 384.61727000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59051006-2.59089355) × cos(-1.41270916) × R
    0.000383489999999931 × 0.157429515170146 × 6371000     		do = 384.63411984616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59051006-2.59089355) × cos(-1.41276953) × R
    0.000383489999999931 × 0.157369897683544 × 6371000     		du = 384.488461521153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41270916)-sin(-1.41276953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157429515170146-0.157369897683544)×R²
    abs(2.59089355-2.59051006)×5.96174866013544e-05×R²
    0.000383489999999931×5.96174866013544e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.96174866013544e-05×40589641000000     		ar = 147908.913816606m²