Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14946 / 8878
↖ ↑ ↗
← N 63.322550°
W 15.798340°		 ← 548.48 m → N 63.322550°
W 15.787354°		 →
↑
548.54 m
↓
↑
548.54 m
↓
N 63.317616°
W 15.798340°		 ← 548.57 m →
300 889 m²		 N 63.317616°
W 15.787354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456130981445312 y=0.270950317382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456130981445312 × 215)
    floor (0.456130981445312 × 32768)
    floor (14946.5)     		tx = 14946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270950317382812 × 215)
    floor (0.270950317382812 × 32768)
    floor (8878.5)     		ty = 8878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14946 / 8878 ti = "15/14946/8878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14946/8878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14946 ÷ 215
    14946 ÷ 32768     		x = 0.45611572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8878 ÷ 215
    8878 ÷ 32768     		y = 0.27093505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45611572265625 × 2 - 1) × π
    -0.0877685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27573305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27093505859375 × 2 - 1) × π
    0.4581298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43925747419257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27573305} λ = -0.27573305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43925747419257))-π/2
    2×atan(4.21756300466804)-π/2
    2×1.33799165294842-π/2
    2.67598330589685-1.57079632675     		φ = 1.10518698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27573305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.798340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10518698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.322550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14946 KachelY 8878 -0.27573305 1.10518698 -15.798340 63.322550
    Oben rechts KachelX + 1 14947 KachelY 8878 -0.27554130 1.10518698 -15.787354 63.322550
    Unten links KachelX 14946 KachelY + 1 8879 -0.27573305 1.10510088 -15.798340 63.317616
    Unten rechts KachelX + 1 14947 KachelY + 1 8879 -0.27554130 1.10510088 -15.787354 63.317616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10518698-1.10510088) × R
    8.61000000000889e-05 × 6371000     		dl = 548.543100000566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10518698-1.10510088) × R
    8.61000000000889e-05 × 6371000     		dr = 548.543100000566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27573305--0.27554130) × cos(1.10518698) × R
    0.000191749999999991 × 0.448967365467662 × 6371000     		do = 548.476155624364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27573305--0.27554130) × cos(1.10510088) × R
    0.000191749999999991 × 0.449044298299541 × 6371000     		du = 548.570139791401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10518698)-sin(1.10510088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448967365467662-0.449044298299541)×R²
    abs(-0.27554130--0.27573305)×7.69328318789286e-05×R²
    0.000191749999999991×7.69328318789286e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.69328318789286e-05×40589641000000     		ar = 300888.588051534m²