Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14946 / 7590
↖ ↑ ↗
← N 69.013546°
W 15.798340°		 ← 437.53 m → N 69.013546°
W 15.787354°		 →
↑
437.56 m
↓
↑
437.56 m
↓
N 69.009611°
W 15.798340°		 ← 437.61 m →
191 461 m²		 N 69.009611°
W 15.787354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456130981445312 y=0.231643676757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456130981445312 × 215)
    floor (0.456130981445312 × 32768)
    floor (14946.5)     		tx = 14946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231643676757812 × 215)
    floor (0.231643676757812 × 32768)
    floor (7590.5)     		ty = 7590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14946 / 7590 ti = "15/14946/7590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14946/7590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14946 ÷ 215
    14946 ÷ 32768     		x = 0.45611572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7590 ÷ 215
    7590 ÷ 32768     		y = 0.23162841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45611572265625 × 2 - 1) × π
    -0.0877685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27573305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23162841796875 × 2 - 1) × π
    0.5367431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.6862283810351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27573305} λ = -0.27573305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6862283810351))-π/2
    2×atan(5.39907898686229)-π/2
    2×1.38765496692498-π/2
    2.77530993384996-1.57079632675     		φ = 1.20451361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27573305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.798340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20451361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.013546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14946 KachelY 7590 -0.27573305 1.20451361 -15.798340 69.013546
    Oben rechts KachelX + 1 14947 KachelY 7590 -0.27554130 1.20451361 -15.787354 69.013546
    Unten links KachelX 14946 KachelY + 1 7591 -0.27573305 1.20444493 -15.798340 69.009611
    Unten rechts KachelX + 1 14947 KachelY + 1 7591 -0.27554130 1.20444493 -15.787354 69.009611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20451361-1.20444493) × R
    6.86800000000432e-05 × 6371000     		dl = 437.560280000275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20451361-1.20444493) × R
    6.86800000000432e-05 × 6371000     		dr = 437.560280000275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27573305--0.27554130) × cos(1.20451361) × R
    0.000191749999999991 × 0.358147216729857 × 6371000     		do = 437.526697235428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27573305--0.27554130) × cos(1.20444493) × R
    0.000191749999999991 × 0.358211340006114 × 6371000     		du = 437.605032746542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20451361)-sin(1.20444493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358147216729857-0.358211340006114)×R²
    abs(-0.27554130--0.27573305)×6.41232762572663e-05×R²
    0.000191749999999991×6.41232762572663e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.41232762572663e-05×40589641000000     		ar = 191461.44247988m²