Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14946 / 7532
↖ ↑ ↗
← N 69.240578°
W 15.798340°		 ← 433 m → N 69.240578°
W 15.787354°		 →
↑
433.04 m
↓
↑
433.04 m
↓
N 69.236684°
W 15.798340°		 ← 433.08 m →
187 523 m²		 N 69.236684°
W 15.787354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456130981445312 y=0.229873657226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456130981445312 × 215)
    floor (0.456130981445312 × 32768)
    floor (14946.5)     		tx = 14946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229873657226562 × 215)
    floor (0.229873657226562 × 32768)
    floor (7532.5)     		ty = 7532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14946 / 7532 ti = "15/14946/7532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14946/7532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14946 ÷ 215
    14946 ÷ 32768     		x = 0.45611572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7532 ÷ 215
    7532 ÷ 32768     		y = 0.2298583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45611572265625 × 2 - 1) × π
    -0.0877685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27573305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2298583984375 × 2 - 1) × π
    0.540283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69734974174695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27573305} λ = -0.27573305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69734974174695))-π/2
    2×atan(5.45945922464794)-π/2
    2×1.3896361999146-π/2
    2.77927239982919-1.57079632675     		φ = 1.20847607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27573305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.798340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20847607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.240578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14946 KachelY 7532 -0.27573305 1.20847607 -15.798340 69.240578
    Oben rechts KachelX + 1 14947 KachelY 7532 -0.27554130 1.20847607 -15.787354 69.240578
    Unten links KachelX 14946 KachelY + 1 7533 -0.27573305 1.20840810 -15.798340 69.236684
    Unten rechts KachelX + 1 14947 KachelY + 1 7533 -0.27554130 1.20840810 -15.787354 69.236684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20847607-1.20840810) × R
    6.79699999999173e-05 × 6371000     		dl = 433.036869999473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20847607-1.20840810) × R
    6.79699999999173e-05 × 6371000     		dr = 433.036869999473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27573305--0.27554130) × cos(1.20847607) × R
    0.000191749999999991 × 0.354444804041246 × 6371000     		do = 433.003684575323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27573305--0.27554130) × cos(1.20840810) × R
    0.000191749999999991 × 0.354508360401952 × 6371000     		du = 433.081327520149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20847607)-sin(1.20840810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354444804041246-0.354508360401952)×R²
    abs(-0.27554130--0.27573305)×6.35563607063738e-05×R²
    0.000191749999999991×6.35563607063738e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.35563607063738e-05×40589641000000     		ar = 187523.371468425m²