Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14946 / 6890
↖ ↑ ↗
← N 71.601348°
W 15.798340°		 ← 385.58 m → N 71.601348°
W 15.787354°		 →
↑
385.57 m
↓
↑
385.57 m
↓
N 71.597881°
W 15.798340°		 ← 385.65 m →
148 683 m²		 N 71.597881°
W 15.787354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456130981445312 y=0.210281372070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456130981445312 × 215)
    floor (0.456130981445312 × 32768)
    floor (14946.5)     		tx = 14946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210281372070312 × 215)
    floor (0.210281372070312 × 32768)
    floor (6890.5)     		ty = 6890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14946 / 6890 ti = "15/14946/6890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14946/6890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14946 ÷ 215
    14946 ÷ 32768     		x = 0.45611572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6890 ÷ 215
    6890 ÷ 32768     		y = 0.21026611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45611572265625 × 2 - 1) × π
    -0.0877685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27573305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21026611328125 × 2 - 1) × π
    0.5794677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82045169997125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27573305} λ = -0.27573305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82045169997125))-π/2
    2×atan(6.17464690789373)-π/2
    2×1.41023780459188-π/2
    2.82047560918375-1.57079632675     		φ = 1.24967928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27573305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.798340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24967928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.601348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14946 KachelY 6890 -0.27573305 1.24967928 -15.798340 71.601348
    Oben rechts KachelX + 1 14947 KachelY 6890 -0.27554130 1.24967928 -15.787354 71.601348
    Unten links KachelX 14946 KachelY + 1 6891 -0.27573305 1.24961876 -15.798340 71.597881
    Unten rechts KachelX + 1 14947 KachelY + 1 6891 -0.27554130 1.24961876 -15.787354 71.597881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24967928-1.24961876) × R
    6.05200000001194e-05 × 6371000     		dl = 385.57292000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24967928-1.24961876) × R
    6.05200000001194e-05 × 6371000     		dr = 385.57292000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27573305--0.27554130) × cos(1.24967928) × R
    0.000191749999999991 × 0.315626704519934 × 6371000     		do = 385.581970589684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27573305--0.27554130) × cos(1.24961876) × R
    0.000191749999999991 × 0.315684130367691 × 6371000     		du = 385.652124259269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24967928)-sin(1.24961876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315626704519934-0.315684130367691)×R²
    abs(-0.27554130--0.27573305)×5.74258477574752e-05×R²
    0.000191749999999991×5.74258477574752e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.74258477574752e-05×40589641000000     		ar = 148683.491022612m²