Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14946 / 20586
↖ ↑ ↗
← S 41.853196°
W 15.798340°		 ← 909.95 m → S 41.853196°
W 15.787354°		 →
↑
909.91 m
↓
↑
909.91 m
↓
S 41.861379°
W 15.798340°		 ← 909.83 m →
827 913 m²		 S 41.861379°
W 15.787354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456130981445312 y=0.628250122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456130981445312 × 215)
    floor (0.456130981445312 × 32768)
    floor (14946.5)     		tx = 14946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628250122070312 × 215)
    floor (0.628250122070312 × 32768)
    floor (20586.5)     		ty = 20586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14946 / 20586 ti = "15/14946/20586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14946/20586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14946 ÷ 215
    14946 ÷ 32768     		x = 0.45611572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20586 ÷ 215
    20586 ÷ 32768     		y = 0.62823486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45611572265625 × 2 - 1) × π
    -0.0877685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27573305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62823486328125 × 2 - 1) × π
    -0.2564697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.805723408813904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27573305} λ = -0.27573305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.805723408813904))-π/2
    2×atan(0.446764616169586)-π/2
    2×0.420160123244529-π/2
    0.840320246489059-1.57079632675     		φ = -0.73047608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27573305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.798340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73047608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.853196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14946 KachelY 20586 -0.27573305 -0.73047608 -15.798340 -41.853196
    Oben rechts KachelX + 1 14947 KachelY 20586 -0.27554130 -0.73047608 -15.787354 -41.853196
    Unten links KachelX 14946 KachelY + 1 20587 -0.27573305 -0.73061890 -15.798340 -41.861379
    Unten rechts KachelX + 1 14947 KachelY + 1 20587 -0.27554130 -0.73061890 -15.787354 -41.861379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73047608--0.73061890) × R
    0.000142819999999988 × 6371000     		dl = 909.906219999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73047608--0.73061890) × R
    0.000142819999999988 × 6371000     		dr = 909.906219999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27573305--0.27554130) × cos(-0.73047608) × R
    0.000191749999999991 × 0.744856834613336 × 6371000     		do = 909.946344794365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27573305--0.27554130) × cos(-0.73061890) × R
    0.000191749999999991 × 0.744761534039357 × 6371000     		du = 909.829921872645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73047608)-sin(-0.73061890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744856834613336-0.744761534039357)×R²
    abs(-0.27554130--0.27573305)×9.53005739787738e-05×R²
    0.000191749999999991×9.53005739787738e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.53005739787738e-05×40589641000000     		ar = 827912.873431125m²