Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14946 / 14773
↖ ↑ ↗
← S 80.834408°
E148.403320°		 ← 389.19 m → S 80.834408°
E148.425293°		 →
↑
389.08 m
↓
↑
389.08 m
↓
S 80.837907°
E148.403320°		 ← 389.04 m →
151 395 m²		 S 80.837907°
E148.425293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912261962890625 y=0.901702880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912261962890625 × 214)
    floor (0.912261962890625 × 16384)
    floor (14946.5)     		tx = 14946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901702880859375 × 214)
    floor (0.901702880859375 × 16384)
    floor (14773.5)     		ty = 14773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14946 / 14773 ti = "14/14946/14773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14946/14773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14946 ÷ 214
    14946 ÷ 16384     		x = 0.9122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14773 ÷ 214
    14773 ÷ 16384     		y = 0.90167236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9122314453125 × 2 - 1) × π
    0.824462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59012656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90167236328125 × 2 - 1) × π
    -0.8033447265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.52378189119672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59012656} λ = 2.59012656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52378189119672))-π/2
    2×atan(0.0801558919412501)-π/2
    2×0.0799848843690409-π/2
    0.159969768738082-1.57079632675     		φ = -1.41082656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59012656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.403320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41082656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.834408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14946 KachelY 14773 2.59012656 -1.41082656 148.403320 -80.834408
    Oben rechts KachelX + 1 14947 KachelY 14773 2.59051006 -1.41082656 148.425293 -80.834408
    Unten links KachelX 14946 KachelY + 1 14774 2.59012656 -1.41088763 148.403320 -80.837907
    Unten rechts KachelX + 1 14947 KachelY + 1 14774 2.59051006 -1.41088763 148.425293 -80.837907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41082656--1.41088763) × R
    6.10699999998854e-05 × 6371000     		dl = 389.07696999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41082656--1.41088763) × R
    6.10699999998854e-05 × 6371000     		dr = 389.07696999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59012656-2.59051006) × cos(-1.41082656) × R
    0.000383500000000314 × 0.159288359496496 × 6371000     		do = 389.185824058379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59012656-2.59051006) × cos(-1.41088763) × R
    0.000383500000000314 × 0.159228068935173 × 6371000     		du = 389.038517426146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41082656)-sin(-1.41088763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159288359496496-0.159228068935173)×R²
    abs(2.59051006-2.59012656)×6.02905613230342e-05×R²
    0.000383500000000314×6.02905613230342e-05×6371000²
    0.000383500000000314×6.02905613230342e-05×40589641000000     		ar = 151394.584429254m²