Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14945 / 20585
↖ ↑ ↗
← S 41.845013°
W 15.809326°		 ← 910.02 m → S 41.845013°
W 15.798340°		 →
↑
909.97 m
↓
↑
909.97 m
↓
S 41.853196°
W 15.809326°		 ← 909.90 m →
828 034 m²		 S 41.853196°
W 15.798340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456100463867188 y=0.628219604492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456100463867188 × 215)
    floor (0.456100463867188 × 32768)
    floor (14945.5)     		tx = 14945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628219604492188 × 215)
    floor (0.628219604492188 × 32768)
    floor (20585.5)     		ty = 20585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14945 / 20585 ti = "15/14945/20585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14945/20585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14945 ÷ 215
    14945 ÷ 32768     		x = 0.456085205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20585 ÷ 215
    20585 ÷ 32768     		y = 0.628204345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456085205078125 × 2 - 1) × π
    -0.08782958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27592479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628204345703125 × 2 - 1) × π
    -0.25640869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.805531661215424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27592479} λ = -0.27592479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.805531661215424))-π/2
    2×atan(0.446850290425476)-π/2
    2×0.42023154006728-π/2
    0.84046308013456-1.57079632675     		φ = -0.73033325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27592479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.809326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73033325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.845013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14945 KachelY 20585 -0.27592479 -0.73033325 -15.809326 -41.845013
    Oben rechts KachelX + 1 14946 KachelY 20585 -0.27573305 -0.73033325 -15.798340 -41.845013
    Unten links KachelX 14945 KachelY + 1 20586 -0.27592479 -0.73047608 -15.809326 -41.853196
    Unten rechts KachelX + 1 14946 KachelY + 1 20586 -0.27573305 -0.73047608 -15.798340 -41.853196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73033325--0.73047608) × R
    0.000142829999999927 × 6371000     		dl = 909.969929999536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73033325--0.73047608) × R
    0.000142829999999927 × 6371000     		dr = 909.969929999536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27592479--0.27573305) × cos(-0.73033325) × R
    0.000191739999999996 × 0.744952126665238 × 6371000     		do = 910.015296405217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27592479--0.27573305) × cos(-0.73047608) × R
    0.000191739999999996 × 0.744856834613336 × 6371000     		du = 909.898889965457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73033325)-sin(-0.73047608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744952126665238-0.744856834613336)×R²
    abs(-0.27573305--0.27592479)×9.52920519017297e-05×R²
    0.000191739999999996×9.52920519017297e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.52920519017297e-05×40589641000000     		ar = 828033.593796441m²