Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14944 / 7592
↖ ↑ ↗
← N 69.005675°
W 15.820312°		 ← 437.68 m → N 69.005675°
W 15.809326°		 →
↑
437.69 m
↓
↑
437.69 m
↓
N 69.001739°
W 15.820312°		 ← 437.76 m →
191 586 m²		 N 69.001739°
W 15.809326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456069946289062 y=0.231704711914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456069946289062 × 215)
    floor (0.456069946289062 × 32768)
    floor (14944.5)     		tx = 14944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231704711914062 × 215)
    floor (0.231704711914062 × 32768)
    floor (7592.5)     		ty = 7592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14944 / 7592 ti = "15/14944/7592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14944/7592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14944 ÷ 215
    14944 ÷ 32768     		x = 0.4560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7592 ÷ 215
    7592 ÷ 32768     		y = 0.231689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4560546875 × 2 - 1) × π
    -0.087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27611654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231689453125 × 2 - 1) × π
    0.53662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.68584488583813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27611654} λ = -0.27611654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68584488583813))-π/2
    2×atan(5.39700886296947)-π/2
    2×1.38758628075994-π/2
    2.77517256151988-1.57079632675     		φ = 1.20437623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27611654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.820312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20437623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.005675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14944 KachelY 7592 -0.27611654 1.20437623 -15.820312 69.005675
    Oben rechts KachelX + 1 14945 KachelY 7592 -0.27592479 1.20437623 -15.809326 69.005675
    Unten links KachelX 14944 KachelY + 1 7593 -0.27611654 1.20430753 -15.820312 69.001739
    Unten rechts KachelX + 1 14945 KachelY + 1 7593 -0.27592479 1.20430753 -15.809326 69.001739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20437623-1.20430753) × R
    6.87000000001436e-05 × 6371000     		dl = 437.687700000915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20437623-1.20430753) × R
    6.87000000001436e-05 × 6371000     		dr = 437.687700000915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27611654--0.27592479) × cos(1.20437623) × R
    0.000191750000000046 × 0.358275480265027 × 6371000     		do = 437.683389004463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27611654--0.27592479) × cos(1.20430753) × R
    0.000191750000000046 × 0.358339618832992 × 6371000     		du = 437.761743196527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20437623)-sin(1.20430753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358275480265027-0.358339618832992)×R²
    abs(-0.27592479--0.27611654)×6.41385679643891e-05×R²
    0.000191750000000046×6.41385679643891e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.41385679643891e-05×40589641000000     		ar = 191585.783270346m²