Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14943 / 6885
↖ ↑ ↗
← N 71.618679°
W 15.831299°		 ← 385.23 m → N 71.618679°
W 15.820312°		 →
↑
385.25 m
↓
↑
385.25 m
↓
N 71.615214°
W 15.831299°		 ← 385.30 m →
148 426 m²		 N 71.615214°
W 15.820312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456039428710938 y=0.210128784179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456039428710938 × 215)
    floor (0.456039428710938 × 32768)
    floor (14943.5)     		tx = 14943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210128784179688 × 215)
    floor (0.210128784179688 × 32768)
    floor (6885.5)     		ty = 6885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14943 / 6885 ti = "15/14943/6885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14943/6885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14943 ÷ 215
    14943 ÷ 32768     		x = 0.456024169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6885 ÷ 215
    6885 ÷ 32768     		y = 0.210113525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456024169921875 × 2 - 1) × π
    -0.08795166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27630829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210113525390625 × 2 - 1) × π
    0.57977294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82141043796365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27630829} λ = -0.27630829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82141043796365))-π/2
    2×atan(6.18056961518257)-π/2
    2×1.410389037444-π/2
    2.82077807488799-1.57079632675     		φ = 1.24998175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27630829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.831299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24998175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.618679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14943 KachelY 6885 -0.27630829 1.24998175 -15.831299 71.618679
    Oben rechts KachelX + 1 14944 KachelY 6885 -0.27611654 1.24998175 -15.820312 71.618679
    Unten links KachelX 14943 KachelY + 1 6886 -0.27630829 1.24992128 -15.831299 71.615214
    Unten rechts KachelX + 1 14944 KachelY + 1 6886 -0.27611654 1.24992128 -15.820312 71.615214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24998175-1.24992128) × R
    6.04699999999792e-05 × 6371000     		dl = 385.254369999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24998175-1.24992128) × R
    6.04699999999792e-05 × 6371000     		dr = 385.254369999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27630829--0.27611654) × cos(1.24998175) × R
    0.000191749999999991 × 0.31533968131206 × 6371000     		do = 385.231331773285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27630829--0.27611654) × cos(1.24992128) × R
    0.000191749999999991 × 0.315397065487426 × 6371000     		du = 385.301434534241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24998175)-sin(1.24992128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31533968131206-0.315397065487426)×R²
    abs(-0.27611654--0.27630829)×5.73841753663817e-05×R²
    0.000191749999999991×5.73841753663817e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.73841753663817e-05×40589641000000     		ar = 148425.557769106m²