Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14943 / 21287
↖ ↑ ↗
← S 47.331377°
W 15.831299°		 ← 827.97 m → S 47.331377°
W 15.820312°		 →
↑
827.91 m
↓
↑
827.91 m
↓
S 47.338823°
W 15.831299°		 ← 827.86 m →
685 441 m²		 S 47.338823°
W 15.820312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456039428710938 y=0.649642944335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456039428710938 × 215)
    floor (0.456039428710938 × 32768)
    floor (14943.5)     		tx = 14943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649642944335938 × 215)
    floor (0.649642944335938 × 32768)
    floor (21287.5)     		ty = 21287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14943 / 21287 ti = "15/14943/21287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14943/21287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14943 ÷ 215
    14943 ÷ 32768     		x = 0.456024169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21287 ÷ 215
    21287 ÷ 32768     		y = 0.649627685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456024169921875 × 2 - 1) × π
    -0.08795166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27630829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649627685546875 × 2 - 1) × π
    -0.29925537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.940138475348541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27630829} λ = -0.27630829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.940138475348541))-π/2
    2×atan(0.390573746777924)-π/2
    2×0.372353977953147-π/2
    0.744707955906294-1.57079632675     		φ = -0.82608837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27630829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.831299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82608837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.331377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14943 KachelY 21287 -0.27630829 -0.82608837 -15.831299 -47.331377
    Oben rechts KachelX + 1 14944 KachelY 21287 -0.27611654 -0.82608837 -15.820312 -47.331377
    Unten links KachelX 14943 KachelY + 1 21288 -0.27630829 -0.82621832 -15.831299 -47.338823
    Unten rechts KachelX + 1 14944 KachelY + 1 21288 -0.27611654 -0.82621832 -15.820312 -47.338823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82608837--0.82621832) × R
    0.000129949999999934 × 6371000     		dl = 827.911449999581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82608837--0.82621832) × R
    0.000129949999999934 × 6371000     		dr = 827.911449999581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27630829--0.27611654) × cos(-0.82608837) × R
    0.000191749999999991 × 0.677757104119874 × 6371000     		do = 827.974680359134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27630829--0.27611654) × cos(-0.82621832) × R
    0.000191749999999991 × 0.677661547998942 × 6371000     		du = 827.857945251226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82608837)-sin(-0.82621832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677757104119874-0.677661547998942)×R²
    abs(-0.27611654--0.27630829)×9.55561209323719e-05×R²
    0.000191749999999991×9.55561209323719e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.55561209323719e-05×40589641000000     		ar = 685441.39597674m²