Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14943 / 21286
↖ ↑ ↗
← S 47.323930°
W 15.831299°		 ← 828.09 m → S 47.323930°
W 15.820312°		 →
↑
828.04 m
↓
↑
828.04 m
↓
S 47.331377°
W 15.831299°		 ← 827.97 m →
685 644 m²		 S 47.331377°
W 15.820312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456039428710938 y=0.649612426757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456039428710938 × 215)
    floor (0.456039428710938 × 32768)
    floor (14943.5)     		tx = 14943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649612426757812 × 215)
    floor (0.649612426757812 × 32768)
    floor (21286.5)     		ty = 21286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14943 / 21286 ti = "15/14943/21286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14943/21286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14943 ÷ 215
    14943 ÷ 32768     		x = 0.456024169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21286 ÷ 215
    21286 ÷ 32768     		y = 0.64959716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456024169921875 × 2 - 1) × π
    -0.08795166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27630829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64959716796875 × 2 - 1) × π
    -0.2991943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.939946727750061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27630829} λ = -0.27630829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.939946727750061))-π/2
    2×atan(0.390648645536497)-π/2
    2×0.372418961682333-π/2
    0.744837923364666-1.57079632675     		φ = -0.82595840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27630829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.831299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82595840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.323930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14943 KachelY 21286 -0.27630829 -0.82595840 -15.831299 -47.323930
    Oben rechts KachelX + 1 14944 KachelY 21286 -0.27611654 -0.82595840 -15.820312 -47.323930
    Unten links KachelX 14943 KachelY + 1 21287 -0.27630829 -0.82608837 -15.831299 -47.331377
    Unten rechts KachelX + 1 14944 KachelY + 1 21287 -0.27611654 -0.82608837 -15.820312 -47.331377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82595840--0.82608837) × R
    0.000129970000000035 × 6371000     		dl = 828.038870000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82595840--0.82608837) × R
    0.000129970000000035 × 6371000     		dr = 828.038870000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27630829--0.27611654) × cos(-0.82595840) × R
    0.000191749999999991 × 0.677852663499477 × 6371000     		do = 828.091419447962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27630829--0.27611654) × cos(-0.82608837) × R
    0.000191749999999991 × 0.677757104119874 × 6371000     		du = 827.974680359134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82595840)-sin(-0.82608837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677852663499477-0.677757104119874)×R²
    abs(-0.27611654--0.27630829)×9.55593796022614e-05×R²
    0.000191749999999991×9.55593796022614e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.55593796022614e-05×40589641000000     		ar = 685643.551930834m²