Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14943 / 14801
↖ ↑ ↗
← S 80.931889°
E148.337402°		 ← 385.08 m → S 80.931889°
E148.359375°		 →
↑
385 m
↓
↑
385 m
↓
S 80.935352°
E148.337402°		 ← 384.94 m →
148 228 m²		 S 80.935352°
E148.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912078857421875 y=0.903411865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912078857421875 × 214)
    floor (0.912078857421875 × 16384)
    floor (14943.5)     		tx = 14943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903411865234375 × 214)
    floor (0.903411865234375 × 16384)
    floor (14801.5)     		ty = 14801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14943 / 14801 ti = "14/14943/14801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14943/14801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14943 ÷ 214
    14943 ÷ 16384     		x = 0.91204833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14801 ÷ 214
    14801 ÷ 16384     		y = 0.90338134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91204833984375 × 2 - 1) × π
    0.8240966796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58897607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90338134765625 × 2 - 1) × π
    -0.8067626953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53451975671161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58897607} λ = 2.58897607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53451975671161))-π/2
    2×atan(0.0792997933151066)-π/2
    2×0.0791341932363028-π/2
    0.158268386472606-1.57079632675     		φ = -1.41252794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58897607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.337402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41252794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.931889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14943 KachelY 14801 2.58897607 -1.41252794 148.337402 -80.931889
    Oben rechts KachelX + 1 14944 KachelY 14801 2.58935957 -1.41252794 148.359375 -80.931889
    Unten links KachelX 14943 KachelY + 1 14802 2.58897607 -1.41258837 148.337402 -80.935352
    Unten rechts KachelX + 1 14944 KachelY + 1 14802 2.58935957 -1.41258837 148.359375 -80.935352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41252794--1.41258837) × R
    6.04300000000002e-05 × 6371000     		dl = 384.999530000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41252794--1.41258837) × R
    6.04300000000002e-05 × 6371000     		dr = 384.999530000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58897607-2.58935957) × cos(-1.41252794) × R
    0.00038349999999987 × 0.15760847281172 × 6371000     		do = 385.08139303858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58897607-2.58935957) × cos(-1.41258837) × R
    0.00038349999999987 × 0.157548797797418 × 6371000     		du = 384.935590359149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41252794)-sin(-1.41258837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15760847281172-0.157548797797418)×R²
    abs(2.58935957-2.58897607)×5.96750143018188e-05×R²
    0.00038349999999987×5.96750143018188e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.96750143018188e-05×40589641000000     		ar = 148228.088394502m²